Chủ đề này có 3 trả lời

[meomaythongminh3]

Tìm giới hạn:

1) $\lim_{n\rightarrow +\infty }\sum_{k=1}^{n} \frac{k-1}{k!}$

2) $\lim_{n\rightarrow +\infty }( \frac{1^3+2^3+...+n^3}{2n^4+3n^2+5})$

3) $\lim_{n\rightarrow +\infty }( \frac{2.1^2+2.2^2+...+(n+1).n^2}{n^4})$

4) $\lim_{n\rightarrow +\infty }( \frac{1.3.5...(2n-1)}{2.4.6...(2n)})$

 

[VODANH9X]

1.$\frac{k-1}{k!}=\frac{k}{k!}-\frac{1}{k!}=\frac{1}{(k-1)!}-\frac{1}{(k)!}$

$\Rightarrow \sum_{k=1}^{n}\frac{(k-1)}{k!}=1-\frac{1}{n!}$

$\Rightarrow lim =1$

 

[VODANH9X]

2.

$1^{2}+2^{3}+...+n^{3}=(\frac{n(n+1)}{2})^{2}$

$\Rightarrow lim S = lim\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4(2n^{4}+3n^{2}+5)}=lim \frac{1}{8}$

3.

$2.1^{2}+2.2^{2}+...+(n+1)n^{2}=(1^{2}+2^{2}+...+n^{2})+(1^{3}+2^{3}+...+n^{3})=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{(n(n+1))^{2}}{4}$ 

 đến đây quy đồng mà giải tiếp

[An Infinitesimal]

Tìm giới hạn:

1) $\lim_{n\rightarrow +\infty }\sum_{k=1}^{n} \frac{k-1}{k!}$

2) $\lim_{n\rightarrow +\infty }( \frac{1^3+2^3+...+n^3}{2n^4+3n^2+5})$

3) $\lim_{n\rightarrow +\infty }( \frac{2.1^2+2.2^2+...+(n+1).n^2}{n^4})$

4) $\lim_{n\rightarrow +\infty } \frac{1.3.5...(2n-1)}{2.4.6...(2n)}$

 

 

Đặt $a_n=\frac{1.3.5...(2n-1)}{2.4.6...(2n)}\, \forall n\in \mathbb{N}.$

Ta nhận xét $0<(2k-1)(2k+1) \le (2k)^2 \forall k\in \mathbb{N}.$ Từ đó suy ra

\[ \prod_{k=1}^n (2k-1)(2k+1) \le \prod_{k=1}^n (2k)^2.\]

Hay 

\[1.3^2.5^2...(2n-1)^2. (2n+1) \le 2^2.4^2... (2n)^2.\]

Do đó 

\[0 \le a_n^2 \le \frac{1}{2n+1}.\]

Vì thế $\lim a_n=0.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi An Infinitesimal: 16-04-2017 - 17:23