Chủ đề này có 10 trả lời

[Thuat ngu]

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a, $f\left ( x \right )= \frac{1}{sin^{2}x.cos^{2}x}$

b, $f\left ( x \right )= tan^{2}x$

c, $f\left ( x \right )= e^{5-3x}$

d, $f\left ( x \right )= \frac{x}{2x^{2}+3x-5}$

[nguyenthanhhung1985]

Câu a. $\frac{1}{\sin^2{x}.\cos^2{x}}=\frac{4}{\sin^2{2x}}$ D0: $\sin{x}.\cos{x}=\frac{\sin{2x}}{2}$

$\int \frac{1}{\sin^2{x}.\cos^2{x}}dx=\int \frac{4}{\sin^2{2x}}dx=-2\cot{2x}+C$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenthanhhung1985: 02-07-2017 - 10:25

[nguyenthanhhung1985]

Câu b. $\tan^2{x}=\frac{1}{\cos^2{x}}-1$

$\int \tan^2{x}dx=\int (\frac{1}{\cos^2{x}}-1)dx=-x+\tan{x}+C$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenthanhhung1985: 02-07-2017 - 12:16

[nguyenthanhhung1985]

Câu c. $\int e^{5-3x}dx=-\frac{1}{3}e^{5-3x}+C$

[nguyenthanhhung1985]

Câu d. Nhận xét: ta thấy $(2x^2+3x-5)'=4x+3$ nên $x=\frac{1}{4}(4x+3)-\frac{3}{4}$

Ta có: $\frac{x}{2x^2+3x-5}=\frac{1}{4}\frac{4x+3}{2x^2+3x-5}-\frac{3}{4}\frac{1}{2x^2+3x-5}$

$\int \frac{x}{2x^2+3x-5}dx=\frac{1}{4}\int \frac{4x+3}{2x^2+3x-5}dx-\frac{3}{4}\int \frac{1}{2x^2+3x-5}dx=I_1+I_2$

$I_1=\frac{1}{4}\int \frac{4x+3}{2x^2+3x-5}dx=\frac{1}{4} \ln|2x^2+3x-5|+C_1$

$I_2=\frac{3}{4}\int \frac{1}{2x^2+3x-5}dx=\frac{3}{4}\int (\frac{1}{7}\frac{1}{x-1}-\frac{2}{7}\frac{1}{2x+5})dx=\frac{3}{28}\ln|x-1|-\frac{3}{28}\ln|2x+5|+C_2$

Vậy: $\int \frac{x}{2x^2+3x-5}dx=\frac{1}{4} \ln|2x^2+3x-5|-\frac{3}{28}\ln|x-1|+\frac{3}{28}\ln|2x+5|+C$

(kiểm tra giúp mình nhen. Tính nhiều sẽ sai sót nhiều đó.)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenthanhhung1985: 02-07-2017 - 10:52

[chanhquocnghiem]

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

b, $f\left ( x \right )= tan^{2}x$

d, $f\left ( x \right )= \frac{x}{2x^{2}+3x-5}$

 

Câu b. $\tan^2{x}=1+\frac{1}{\cos^2{x}}$

$\int \tan^2{x}dx=\int (1+\frac{1}{\cos^2{x}})dx=x+\tan{x}+C$

b)

  $\int \tan^2xdx=\int \left ( \frac{1}{\cos^2x}-1 \right )dx=\tan x-x+C$

 

d)

  Đặt $\frac{x}{2x^2+3x-5}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{2x+5}$ ($A,B$ là các hằng số cần tìm)

  $\Rightarrow A(2x+5)+B(x-1)=x$

  Cho $x=1\Rightarrow A=\frac{1}{7}$

  Cho $x=-\frac{5}{2}\Rightarrow B=\frac{5}{7}$

  $\int \frac{x}{2x^2+3x-5}\ dx=\int \left ( \frac{A}{x-1}+\frac{B}{2x+5} \right )dx$

  $=A\ln|x-1|+\frac{B}{2}\ln|2x+5|+C=\frac{1}{7}\ln|x-1|+\frac{5}{14}\ln|2x+5|+C$.

[nguyenthanhhung1985]

Thông cảm nhen. Từ sáng đến giờ mình làm nhiều toán quá ah. Nên nhầm chỗ cơ bản thế. Cảm ơn bạn nhiều.

[nguyenthanhhung1985]

b)

  $\int \tan^2xdx=\int \left ( \frac{1}{\cos^2x}-1 \right )dx=\tan x-x+C$

 

d)

  Đặt $\frac{x}{2x^2+3x-5}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{2x+5}$ ($A,B$ là các hằng số cần tìm)

  $\Rightarrow A(2x+5)+B(x-1)=x$

  Cho $x=1\Rightarrow A=\frac{1}{7}$

  Cho $x=-\frac{5}{2}\Rightarrow B=\frac{5}{7}$

  $\int \frac{x}{2x^2+3x-5}\ dx=\int \left ( \frac{A}{x-1}+\frac{B}{2x+5} \right )dx$

  $=A\ln|x-1|+\frac{B}{2}\ln|2x+5|+C=\frac{1}{7}\ln|x-1|+\frac{5}{14}\ln|2x+5|+C$.

 

Câu b của mình và bạn cùng một kết quả đó. Bạn xem lại xem.

[nguyenthanhhung1985]

 

 

d)

  Đặt $\frac{x}{2x^2+3x-5}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{2x+5}$ ($A,B$ là các hằng số cần tìm)

  $\Rightarrow A(2x+5)+B(x-1)=x$

  Cho $x=1\Rightarrow A=\frac{1}{7}$

  Cho $x=-\frac{5}{2}\Rightarrow B=\frac{5}{7}$

  $\int \frac{x}{2x^2+3x-5}\ dx=\int \left ( \frac{A}{x-1}+\frac{B}{2x+5} \right )dx$

  $=A\ln|x-1|+\frac{B}{2}\ln|2x+5|+C=\frac{1}{7}\ln|x-1|+\frac{5}{14}\ln|2x+5|+C$.

Cách  cua bạn là thực hiện đồng nhất thức. Còn mình đang giải bài b bằng cách thêm, bợt mà. Hai cách giải như nhau mà nên cách nào cũng ra kết quả cả...

[chanhquocnghiem]

   Câu b của mình và bạn cùng một kết quả đó. Bạn xem lại xem.

 

Câu b hồi sáng bạn ra kết quả $x+\tan x+C$ (mình có trích lại ở #6), bạn mới sửa lại lúc 12:16. Mình biết bạn nhầm nên sửa lại thôi, không có ý gì đâu.

Còn câu d, bạn làm vẫn đúng, nhưng phức tạp, và kết quả vẫn còn có thể rút gọn (gặp trường hợp này thì người ta gom lại thành tổng của 2 cái $\ln$ chứ ai để thế ). Mình làm câu này chỉ là giúp cho một số bạn biết thêm một phương pháp mới, thế thôi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 02-07-2017 - 15:47

[nguyenthanhhung1985]

Cảm o

 

Câu b hồi sáng bạn ra kết quả $x+\tan x+C$ (mình có trích lại ở #6), bạn mới sửa lại lúc 12:16. Mình biết bạn nhầm nên sửa lại thôi, không có ý gì đâu.

Còn câu d, bạn làm vẫn đúng, nhưng phức tạp, và kết quả vẫn còn có thể rút gọn (gặp trường hợp này thì người ta gom lại thành tổng của 2 cái $\ln$ chứ ai để thế ). Mình làm câu này chỉ là giúp cho một số bạn biết thêm một phương pháp mới, thế thôi.ơn

Cảm ơn bạn nhiều