Lời giải bài 1 : Ta sẽ chứng minh $QR$ đi qua $O$. Ta sẽ chứng minh $AL,OQ,BC$ đồng quy
Gọi $X,Y,Z$ tam giác Pedal của $Q$ lên $\triangle ABC$.G ọi $N$ là giao điểm của $QX$ với $(XYZ)$, ta có : $\angle NQZ = \angle ZBX = \angle DPF$
Mặt khác ta có $\angle DFP = \angle DBP = \angle CQP = 180^{\circ} - \angle AQC = \angle QAY + \angle QCY = \angle QZY + \angle QXY = \angle QZY + \angle NZY = \angle NZQ$
Từ hai điều trên ta có $\triangle NZQ \sim \triangle DFP$. Vậy phép vị tự tâm $A$ biến $Y$ thành $E$, biến $Z$ thành $F$, biến $Q$ thành $P$ sẽ biến $N$ thành $D$, biến $X$ thành $K$.
$DP$ cắt $OQ$ tại $G$, $I,J$ là trung điểm cung nhỏ, cung lớn $\overarc {BC}$, $J$ là hình chiếu của $K$ lên $EF$, $KD$ cắt $EF$ tại $R$.
Gọi $B',C'$ là các điểm nằm trên phân giác ngoài sao cho $XB' \perp CQ$ và $BC' \perp BQ$ và $M$ là trung điểm $YZ$
Khi đó $V$ là trung điểm $B'C'$ . Lại có $\angle QB'A = \angle QCA = \angle NZY$. Vậy $\triangle NYZ \cap M \sim \triangle QC'B' \cap V \implies QV \parallel NM$
Gọi $A'$ là chân đường phân giác trong . Ta có $A'B.A'C = A'I.A'A = A'P.A'Q =\implies \frac{A'I}{IP} = \frac{A'P}{PA}$.Lại có $\triangle VIB \sim \triangle AQZ$ nên $\frac{QM}{QA} = \frac{IB^2}{IV^2}$
Mà $\triangle QA'X \sim \triangle IVA \implies \frac{QA'}{QX}= \frac{IV}{IA}$ nên từ đây ta có $\frac{QM}{QA} .\frac{QA'}{QX} = \frac{IB^2}{IV.IA} = \frac{IA'.IA}{IV.IA} = \frac{IA'}{IV} \implies \frac{QM}{QX} = \frac{A'T}{A'Q}.\frac{QA}{IV} = \frac{IP}{IV}$. Suy ra $\triangle MQX \sim \triangle PIV$ nên $VP \parallel MX$
Gọi $H,T$ là giao điểm của $PD$ với phân giác ngoài và $VQ$. Khi đó $\frac{KD}{KR} = \frac{XN}{XT} = \frac{PT}{PH} = \frac{AI}{AP}.\frac{QP}{QI}$
Ta có $\frac{PG}{PA} = \frac{OI}{PA}.\frac{QP}{QI} = \frac{IV}{2IA}.\frac{IA}{PA}.\frac{QP}{QI} = \frac{1}{2}\frac{KR}{KJ}.\frac{KD}{KR}= \frac{KD}{KL}$. Suy ra $AG \parallel LD$
Đường thẳng qua $D$ song song $AP$ cắt $AL$ tại $W$. Ta chứng minh $GW \parallel UQ$.
Lấy điểm $V$ trên tia đối của $AP$ thỏa mãn $\frac{AV}{AP} = \frac{AW}{AL}$. Khi đó $VW \parallel LP$. Ta cần chứng minh $V,W,G$ thẳng hàng. Điều này tương đương với $\frac{PV}{PG} = \frac{KL}{PL}$, hay $\frac{PA}{PG} . \frac{KD}{KP} = \frac{KL}{KD}.\frac{KD}{KP}$, hay $\frac{PA}{PG} = \frac{KL}{KD}$. Điều này đúng do $\triangle AGP$ và $\triangle LDK$ có các cạnh tương đối song song. Vậy $GW \parallel PL \parallel UQ$
Xét $\triangle WGD$ và $\triangle UQX$ có các cạnh tương đối song song nên $WU,QG,XD$ đồng quy, tức là $AL,OQ,BC$ đồng quy. Ta hoàn tất chứng minh
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhtuan00: 23-04-2017 - 20:22