Cho $u_{1}=1$
$u_{n+1}=\frac{u_{n}+2}{u_{n}+1}, n=1,2...$
Chứng minh $u_{n}$ hội tụ và tìm giới hạn dãy số
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpctnd: 16-04-2017 - 21:16
Cho $u_{1}=1$
$u_{n+1}=\frac{u_{n}+2}{u_{n}+1}, n=1,2...$
Chứng minh $u_{n}$ hội tụ và tìm giới hạn dãy số
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpctnd: 16-04-2017 - 21:16
Theo gt ta luôn có
\[{u_n} > 0\]
Mặt khác: \[{u_{n + 1}} - 1 = \frac{{{u_n} + 2}}{{{u_n} + 1}} - 1 = \frac{1}{{{u_n} + 1}} > 0\]
Đặt: \[f\left( x \right) = \frac{{x + 2}}{{x + 1}} \Rightarrow {u_{n + 1}} = f\left( {{u_n}} \right);\,\,\left| {f'\left( x \right)} \right| = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} < \frac{1}{4}\]
Giả sử: \[\exists \lim {u_n} = a \Rightarrow a = \frac{{a + 2}}{{a + 1}} \Leftrightarrow a = \sqrt 2 \]
Ta sẽ đi chứng minh: \[{u_n} \to \sqrt 2 \]
Theo Lagrange luôn tồn tại c thỏa mãn:
$$\boxed{\boxed{I\heartsuit MATHEMATICAL}}$$
Sức hấp dẫn của toán học mãnh liệt đến nỗi tôi bắt đầu sao nhãng các môn học khác - Sofia Vasilyevna Kovalevskaya
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh