Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $u_{n}$ hội tụ và tìm giới hạn dãy số

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
tpctnd

tpctnd

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 62 Bài viết

Cho $u_{1}=1$
$u_{n+1}=\frac{u_{n}+2}{u_{n}+1}, n=1,2...$
Chứng minh $u_{n}$ hội tụ và tìm giới hạn dãy số


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpctnd: 16-04-2017 - 21:16


#2
tuaneee111

tuaneee111

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 174 Bài viết

Theo gt ta luôn có

\[{u_n} > 0\]

Mặt khác: \[{u_{n + 1}} - 1 = \frac{{{u_n} + 2}}{{{u_n} + 1}} - 1 = \frac{1}{{{u_n} + 1}} > 0\]

Đặt: \[f\left( x \right) = \frac{{x + 2}}{{x + 1}} \Rightarrow {u_{n + 1}} = f\left( {{u_n}} \right);\,\,\left| {f'\left( x \right)} \right| = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} < \frac{1}{4}\]

Giả sử: \[\exists \lim {u_n} = a \Rightarrow a = \frac{{a + 2}}{{a + 1}} \Leftrightarrow a = \sqrt 2 \]

Ta sẽ đi chứng minh: \[{u_n} \to \sqrt 2 \]

Theo Lagrange luôn tồn tại c thỏa mãn:

\[f\left( {{u_n}} \right) - f\left( {\sqrt 2 } \right) = f'\left( c \right)\left( {{u_n} - \sqrt 2 } \right)\]
\[ \Rightarrow \left| {{u_{n + 1}} - \sqrt 2 } \right| = \left| {f'\left( c \right)} \right|\left| {{u_n} - \sqrt 2 } \right| < {\left( {\frac{1}{4}} \right)^n}\left( {{u_1} - \sqrt 2 } \right) \to 0 \Rightarrow {u_{n + 1}} \to 0 \Rightarrow \lim {u_n} = \sqrt 2 \]

 


$$\boxed{\boxed{I\heartsuit MATHEMATICAL}}$$

Blog của tôi

:luoi: Sức hấp dẫn của toán học mãnh liệt đến nỗi tôi bắt đầu sao nhãng các môn học khác - Sofia Vasilyevna Kovalevskaya :lol:


#3
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

Tham khảo một lời giải kháchttps://diendantoanh...-n/#entry677642


Đời người là một hành trình...





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh