Chủ đề này có 4 trả lời

[meomaythongminh3]

Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi: $x_1=1$ và $x_{n+1}= \frac{x_n+2}{x_n+1}$; n=1,2,... Chứng minh rằng $(x_n)$ là dãy số hội tụ . Tìm $\lim_{n\rightarrow +\infty }(x_n)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi meomaythongminh3: 16-04-2017 - 21:32

[An Infinitesimal]

Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi: $x_1=1$ và $x_{n+1}= \frac{x_n+2}{x_n+1}$; n=1,2,... Chứng minh rằng $(x_n)$ là dãy số hội tụ . Tìm $\lim_{n\rightarrow +\infty }(x_n)$

 

Dễ dàng thấy rằng $x_n\ge 0$ và giới hạn nếu có của dãy $\{x_n\}$ là $a:=\sqrt{2}.$

 

\[\left| x_{n+1}-a\right|=\left| \frac{x_n+2}{x_n+1}-\frac{a+2}{a+1}\right|= \frac{|x_n-a|}{(x_n+1)(a+1)} \le \frac{1}{a+1} |x_n-a|\forall n\in \mathbb{N}.\]

Suy ra $$|x_n-a| \le \frac{1}{(a+1)^{n-1}}|x_1-a| \forall n\in \mathbb{N}.$$

 

Do đó $\{x_n\}$ hội tụ và $ \lim x_n =a=\sqrt{2}.$

[An Infinitesimal]

Tham khảo một lời giải khác https://diendantoanh...số/#entry677637

[meomaythongminh3]

Tham khảo một lời giải khác https://diendantoanh...số/#entry677637

Bài này có cần tìm CTTQ của $x_n$ không ạ

[An Infinitesimal]

Bài này có cần tìm CTTQ của $x_n$ không ạ

 

Người ta không yêu cầu thì mình không cần tìm!