Chủ đề này có 6 trả lời

[Nguyenhuyen_AG]

Cho hai số thực $x,\,y$ bất kỳ. Chứng minh rằng

\[x^2 + xy + y^2 \geqslant 0.\]

Mình có hai lời giải là dùng phân tích

\[x^2 + xy + y^2 = \frac14(2x+y)^2+\frac34y^2 \geqslant 0,\]

và

\[x^2 + xy + y^2 =\frac{x^2+y^2+(x+y)^2}{2} \geqslant 0.\]

Bạn nào có chứng minh khác cho mình tham khảo.

[NTL2k1]

Cho hai số thực $x,\,y$ bất kỳ. Chứng minh rằng

\[x^2 + xy + y^2 \geqslant 0.\]

Mình có hai lời giải là dùng phân tích

\[x^2 + xy + y^2 = \frac14(2x+y)^2+\frac34y^2 \geqslant 0,\]

và

\[x^2 + xy + y^2 =\frac{x^2+y^2+(x+y)^2}{2} \geqslant 0.\]

Bạn nào có chứng minh khác cho mình tham khảo.

Ta có:

$\frac{x^2+y^2}{2}\geq -xy$ (đúng với mọi $x,y$)

$\Rightarrow x^2+y^2\geq -xy\Leftrightarrow x^2+xy+y^2\geq 0$ (đúng với mọi $x,y$)

Em mong là đúng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTL2k1: 17-04-2017 - 02:01

[sharker]

 

 

$\[{x^2} + {y^2} + xy = \frac{3}{4}{(x + y)^2} + \frac{{{{(x - y)}^2}}}{4} \ge 0\]$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sharker: 17-04-2017 - 12:09

[sharker]

 

${x^2} + {y^2} + xy \ge 0\\$

Đặt $x = ky \to {k^2}{y^2} + {y^2} + k{y^2} = {y^2}\left( {{{(k + 1)}^2} + \frac{3}{4}} \right) \ge 0$

[Nguyenphuctang]

$\Leftrightarrow (x+y)^{2}-xy \geq 0$ Hiển nhiên đúng vì $(x+y)^{2} \geq 4xy$ 

[cunbeocute2810]

$\Leftrightarrow (x+y)^{2}-xy \geq 0$ Hiển nhiên đúng vì $(x+y)^{2} \geq 4xy$ 

hình như k đúng ạ?

[Mr Cooper]

Không mất tính tổng quát , giả sử $x \ge y$ ta cần chứng minh:

$(x-y)(x^2+xy+y^2) \ge 0$

$\Leftrightarrow x^3 - y^3 \ge 0$ 

Hiển nhiên đúng vì $x \ge y$