Chủ đề này có 1 trả lời

[nguyenhongsonk612]

Cho mặt cầu $(S): x^2+y^2+z^2-2x+4z+1=0$ và đường thẳng $d$: $\left\{\begin{matrix} x=-1+2t & & \\ y=0 & & \\ z=m+2t & & \end{matrix}\right.$. Biết có hai giá trị thực của tham số $m$ để $d$ cắt $(S)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ và các mặt phẳng tiếp diện của $(S)$ tại $A, B$ vuông góc với nhau. Tích của hai giá trị đó là 

A. $16$

B. $12$

C. $14$

D. $10$

[chanhquocnghiem]

Cho mặt cầu $(S): x^2+y^2+z^2-2x+4z+1=0$ và đường thẳng $d$: $\left\{\begin{matrix} x=-1+2t & & \\ y=0 & & \\ z=m+2t & & \end{matrix}\right.$. Biết có hai giá trị thực của tham số $m$ để $d$ cắt $(S)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ và các mặt phẳng tiếp diện của $(S)$ tại $A, B$ vuông góc với nhau. Tích của hai giá trị đó là 

A. $16$

B. $12$

C. $14$

D. $10$

Gọi tâm mặt cầu là $I$.Viết lại $(S):(x-1)^2+y^2+(z+2)^2=4\Rightarrow I(1;0;-2)$

Thay phương trình của $d$ vào $(S)$, ta được $8t^2+4mt+m^2+4m+4=0$

$\Rightarrow t=\frac{-m\pm \sqrt{-m^2-8m-8}}{4}$ (với $m\in \left [ -4-2\sqrt{2};-4+2\sqrt{2} \right ]$)

$\Rightarrow A\left ( \frac{-m-2-\sqrt{-m^2-8m-8}}{2};0;\frac{m-\sqrt{-m^2-8m-8}}{2} \right )$

  và $B\left ( \frac{-m-2+\sqrt{-m^2-8m-8}}{2};0;\frac{m+\sqrt{-m^2-8m-8}}{2} \right )$

$\Rightarrow \overrightarrow{OA}=\left ( \frac{-m-4-\sqrt{-m^2-8m-8}}{2};0;\frac{m+4-\sqrt{-m^2-8m-8}}{2} \right )$

  và $\overrightarrow{OB}=\left ( \frac{-m-4+\sqrt{-m^2-8m-8}}{2};0;\frac{m+4+\sqrt{-m^2-8m-8}}{2} \right )$

Hai tiếp diện vuông góc với nhau $\Leftrightarrow \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\Leftrightarrow m^2+8m+12=0$

Vậy tích 2 giá trị $m$ thỏa mãn điều kiện đề bài là $12$.