Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Topic BẤT ĐẲNG THỨC ôn thi vào lớp 10 THPT 2017 - 2018

bất đẳng thức am-gm cauchy bunyakovski minskovski schwarz holder thcs

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 306 trả lời

#301 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 422 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 23-04-2020 - 16:33

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

\[\frac{3}{64}(a+b+c)^6 \geqslant (a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2),\]

hoặc

\[\frac{5}{16}(a+b+c)^2 \sum ab(a-b)^2+\frac{1}{64}\left(\sum a^2-2\sum bc\right)^2\left(3\sum a^2 + 10 \sum bc \right) + \frac{1}{16}abc(a+b+c)^3 \geqslant 0.\]

Từ đó suy điều phải chứng minh.

 

P/s. Bài này không phải của Trần Quốc Anh đâu.

$pqr$ method:

Ta chứng minh: \[\frac{3}{64}(a+b+c)^6 \geqq (a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2),\]

Nếu $p^2 \geqq 4q$ ta viết nó lại thành: \[r{p}^{3}+{\frac { \left( {p}^{2}-4\,q \right)  \left( 3\,{p}^{4}+12\,{ p}^{2}q-16\,{q}^{2} \right) }{64}} \geqq 0\]

Nếu $p^2 \leqq 4q$ ta viết nó lại thành: \[\frac{1}{9}\,{p}^{3} \left( {p}^{3}-4\,qp+9\,r \right) -{\frac { \left( {p}^{2 }-4\,q \right) \Big[ \left( 37\,{p}^{2}-54\,q \right) ^{2}+2412\,{q}^{2}\Big] }{21312}}\geqq 0\]

Từ trên và do trên$,$ bất đẳng thức là hiển nhiên. Mặt khác ta lại có thể viết SOS cho nó rất dễ dàng nhờ phân tích BĐT Schur bậc $3$ của em tại: 

$\lceil$ https://artofproblem...456439p14533974 $\rfloor$


Blog: https://t-t-h-n-e-w.blogspot.com/ 

Github: https://github.com/tthnew

Các chương trình trên Maple(có code): https://github.com/t...w/MaplePackages

Giới thiệu INEQTOOL program: https://diendantoanh...bđt-trên-maple/


#302 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 422 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 28-06-2020 - 18:37

Ta có

\[(a^2+b^2+c^2)^3 - 9(a^3+b^3+c^3) = \frac13\sum(ab+2bc+2ca+c^2)(a-b)^4+\frac12\sum\left[(a^2+b^2)^2+5c^4\right](a-b)^2.\]

Buồn quá$,$ cả hsossos đều cho kết quả xấu hơn của anh  :icon6:

SOS


Blog: https://t-t-h-n-e-w.blogspot.com/ 

Github: https://github.com/tthnew

Các chương trình trên Maple(có code): https://github.com/t...w/MaplePackages

Giới thiệu INEQTOOL program: https://diendantoanh...bđt-trên-maple/


#303 Thekingof2005

Thekingof2005

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết

Đã gửi 28-06-2020 - 23:07

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn $0\leq a,b,c\leq 1$. Tìm max

P=(a-b)(b-c)(c-a)



#304 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 422 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 05-09-2020 - 18:58

Bài 13: (Lê Khánh Sỹ)

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{a+b}{c} \geq 2.\sqrt{(a+b+c)(\frac{a}{bc} +\frac{b}{ca}+ \frac{c}{ab})}$

Sau khi bình phương lên và quy đồng nó tương đương$:$

$$4\,{b}^{2}{c}^{2} \left( a-b \right)  \left( a-c \right) +4\,{c}^{2}{a }^{2} \left( b-c \right)  \left( b-a \right) +4\,{a}^{2}{b}^{2} \left( c-a \right)  \left( c-b \right) + \left( a-b \right) ^{2} \left( b-c \right) ^{2} \left( c-a \right) ^{2} \geqslant 0$$

 

[Test Sức Mạnh của SchurTOOL]


Blog: https://t-t-h-n-e-w.blogspot.com/ 

Github: https://github.com/tthnew

Các chương trình trên Maple(có code): https://github.com/t...w/MaplePackages

Giới thiệu INEQTOOL program: https://diendantoanh...bđt-trên-maple/


#305 Peteroldar

Peteroldar

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 275 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PUBG
  • Sở thích:PUBG, maths, and so on....

Đã gửi 05-09-2020 - 22:44

Ta có

\[(a^2+b^2+c^2)^3 - 9(a^3+b^3+c^3) = \frac13\sum(ab+2bc+2ca+c^2)(a-b)^4+\frac12\sum\left[(a^2+b^2)^2+5c^4\right](a-b)^2.\]

 

$$(a^2+b^2+c^2)^3-9abc(a^3+b^3+c^3)=\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)\sum (a^2-ab-ac-b^2+2bc)^2+3\sum a[c(a-b)^2(b-c)^2+b(a^2-2ac+bc)^2]\ge 0$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Peteroldar: 06-09-2020 - 12:16


#306 Tan Thuy Hoang

Tan Thuy Hoang

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 382 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Geometry

Đã gửi 06-09-2020 - 12:25

Cho các số thực a,b,c thỏa mãn $0\leq a,b,c\leq 1$. Tìm max

P=(a-b)(b-c)(c-a)

Không mất tính tổng quát, giả sử c = max{a, b, c}.

Ta có c - a $\geq$ 0 nên $(a-b)(b-c)(c-a)\leq \frac{(a-b+b-c)^2}{4}(c-a)=\frac{(c-a)^3}{4}\leq \frac{1}{4}$.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi c - a = 1; a - b = b - c

$\Leftrightarrow c=1;a=0;b=\frac{1}{2}$.

Vậy Max P = 0,25 khi chẳng hạn c = 1; a = 0; b = 0,5.



#307 tthnew

tthnew

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 422 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi cần đến.
  • Sở thích:Viết blog, viết SOS .v.v.. etc.

Đã gửi 07-09-2020 - 14:32

Cho $a,b,c \in \Big[\dfrac{1}{3},3\Big].$ Chứng minh $$(a+b+c) \Big(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\Big) \leqslant 25.$$

 

Giả sử $a\equiv \text{mid}\{a,b,c\}.$ Ta có phân tích$:$

 

$$25-(a+b+c) \Big(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\Big) =\dfrac{2}{bc} (10bc-b^2-c^2) +\dfrac{c+b}{abc} (a-b)(c-a)\geqslant 0.$$

 

Có ai tìm được phân tích với $a:\neq {\rm mid}\left \{ a, b, c \right \}$ không$?$

Mình có một phân tích đúng với mọi $a,b,c \in \Big[\dfrac{1}{3},3\Big]$ (tức là đúng với cả $\text{mid}$ $\text{&}$ $\text{unmid}$) nhưng rất xấu.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tthnew: 07-09-2020 - 14:46

Blog: https://t-t-h-n-e-w.blogspot.com/ 

Github: https://github.com/tthnew

Các chương trình trên Maple(có code): https://github.com/t...w/MaplePackages

Giới thiệu INEQTOOL program: https://diendantoanh...bđt-trên-maple/






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức, am-gm, cauchy, bunyakovski, minskovski, schwarz, holder, thcs

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh