Chủ đề này có 299 trả lời

[AnhTran2911]

$\boxed{ BÀI TOÁN 27}$ ( ĐẠI HỌC KHỐI B 2010):

Cho $a,b,c\geq0$ thỏa mãn $a+b+c=1$

Tìm Min $3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+3(ab+bc+ca)+2\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnhTran2911: 30-04-2017 - 15:08

[TrBaoChis]

Bài toán làm mạnh một bất đẳng thức quen thuộc

 

$\boxed{\textbf{Bài Toán 26}}$ $\text{[Lê Việt Hưng - Mr Cooper]} $ Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi a,b,c. 

\[a^2+b^2+c^2 \ge \sum \dfrac{a(b^2+c^2)}{b+c} \ge ab+bc+ca\]

 

2/ $\sum$ $\frac{a(b^2+c^2)}{b+c}$ $\geq$ $\sum$ $\frac{a(b+c)^2}{2(b+c)}$

= $\sum$ $\frac{a(b+c)}{2}$ = $ab$ +$bc$+$ca$  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TrBaoChis: 29-04-2017 - 13:27

[Drago]

$\boxed{\textbf{Bài Toán 28}} $

Cho các số a,b,c không âm thoả mãn:$a^2+b^2+c^2=2(ab+bc+ca)$.Chứng minh rằng:

$\sqrt{1+\frac{a}{b+c}}+\sqrt{1+\frac{b}{c+a}}+\sqrt{1+\frac{c}{a+b}}\geq 1+2\sqrt{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 30-04-2017 - 15:16

[Nguyenphuctang]

ĐỀ XUẤT ( ĐẠI HỌC KHỐI B 2010):

Cho $a,b,c\geq0$ thỏa mãn $a+b+c=1$

Tìm Min $3(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+3(ab+bc+ca)+2\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

Bạn đánh số vào đây là bài 27 nhé

 

$\boxed{\textbf{Bài Toán 27}} $

Cho các số a,b,c không âm thoả mãn:$a^2+b^2+c^2=2(ab+bc+ca)$.Chứng minh rằng:

$\sqrt{1+\frac{a}{b+c}}+\sqrt{1+\frac{b}{c+a}}+\sqrt{1+\frac{c}{a+b}}\geq 1+2\sqrt{2}$

Bạn đánh số vào đây là bài 28 nhé. (Ghi thêm nguồn theo đúng quy định Topic)

Lời giải bài 27:

$VT \geq (ab+bc+ca)^{2} +3(ab+bc+ca) +2 \sqrt{1-2 (ab+bc+ca)} $

Đặt $ t = ab+bc+ca $ ($t \in [0; \frac{1}{3} ]$)

Dễ thấy $f(t) \geq f(0) =2$ 

Nên $VT  \geq 2$ 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=1 ;b=c=0$ hoặc các hoán vị   $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenphuctang: 30-04-2017 - 15:03

[user2001]

Bài toán 29:

Cho a,b,c>0

Chứng minh rằng $\sum \frac{(2a+b+c)^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}} \leq 8$

[hoduchieu01]

Bài toán 29:

Cho a,b,c>0

Chứng minh rằng $\sum \frac{(2a+b+c)^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}} \leq 8$

Ta chuẩn hóa a+b+c=3 thu được $\frac{(2a+b+c)^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}} = \frac{(3+a)^{2}}{2a^{2}+(3-a)^{2}} = \frac{1}{3}+\frac{8a+6}{3a^{2}-6a+9} \leq \frac{1}{3}+\frac{8a+6}{6}$

tương tự =>   P<= 1+ $\frac{8(a+b+c)+18}{6} =8$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoduchieu01: 30-04-2017 - 15:43

[AnhTran2911]

$\boxed{\textbf{Bài Toán 28}} $

Cho các số a,b,c không âm thoả mãn:$a^2+b^2+c^2=2(ab+bc+ca)$.Chứng minh rằng:

$\sqrt{1+\frac{a}{b+c}}+\sqrt{1+\frac{b}{c+a}}+\sqrt{1+\frac{c}{a+b}}\geq 1+2\sqrt{2}$

Bài này tương đối khó .

Chuẩn hóa $a+b+c=2$. GT có thể viết lại thành $ab+bc+ca=1$.

BĐT cần CM tương đương với : $\sum\frac{1}{\sqrt{a+b}}\geq2+\frac{1}{\sqrt2}$

Đến đây ta có BĐT sau ( Với gs a max) : $\frac{1}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{c^2+1}}\geq1+\frac{1}{\sqrt{(b+c)^2+1}}$

( CM cái này các bạn bình phương lên là đc, quá dài mình k trình bày ở đây)

Từ đây suy ra $\frac{1}{\sqrt{a+b}}+\frac{1}{\sqrt{a+c}} \geq\sqrt{b+c}+ \sqrt {\frac{b+c}{(b+c)^2+1}}$

Đến đây quy hàm một biến $t=\sqrt{b+c}+\frac{1}{\sqrt{b+c}} ( t\geq2) $

CM BĐT 1 biến cuối cùng > Đơn giản chỉ là 1 AMGM quen thuộc.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnhTran2911: 01-05-2017 - 12:44

[Drago]

$\boxed{\textbf{Bài Toán 30}}$ [Sưu tầm]

Cho a,b,c là 3 số dương và $2(ab+bc+ca)=3abc$. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{a^{2}}{\sqrt{a^{3}+1}+1}\geq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 01-05-2017 - 20:25

[tuaneee111]

Ta có:

\[2\left( {ab + bc + ca} \right) = 3abc \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{3}{2}\]

Xét đánh giá đặc trưng:

\[\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^3} + 1}  + 1}} \ge \frac{{2x - 2}}{x} \Leftrightarrow {x^4}{\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0\]

Dễ thấy đánh giá trên đúng, nên suy ra được:

\[\sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^2}}}{{\sqrt {{a^3} + 1}  + 1}}}  \ge \sum\limits_{cyc} {\frac{{2a - 2}}{a}}  = 3\]

Vậy có đpcm

 

 

[AnhTran2911]

$\boxed{\textbf{ BÀI TOÁN 31 }}$ 

Cho $ a,b,c\ge 0$ . Chứng Minh Rằng:

$3(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\geq(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)$

[Drago]

Ta có:

\[2\left( {ab + bc + ca} \right) = 3abc \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{3}{2}\]

Xét đánh giá đặc trưng:

\[\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^3} + 1}  + 1}} \ge \frac{{2x - 2}}{x} \Leftrightarrow {x^4}{\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0\]

Dễ thấy đánh giá trên đúng, nên suy ra được:

\[\sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^2}}}{{\sqrt {{a^3} + 1}  + 1}}}  \ge \sum\limits_{cyc} {\frac{{2a - 2}}{a}}  = 3\]

Vậy có đpcm

Đánh giá đó là U.C.T hả bạn tuaneee111

[AnhTran2911]

Đánh giá đó là U.C.T hả bạn tuaneee111

Chắc chắn rồi

[tuaneee111]

Đánh giá đó là U.C.T hả bạn tuaneee111

Đúng rồi đó bạn!

[Chu Quang Huy]

    Bài 3*/(sưu tầm)

Cho các số thực a, b, c thoả mãn 0≤a,b,c≤1 và a+b+c≥2 Chứng minh rằng:

ab(a+1)+bc(b+1)+ca(c+1)≥2

 

    Bài 3*/(sưu tầm/do mình quên,đây là một bài trong đề thi chuyên của tỉnh nào đó trong mấy năm gần đây)  

Cho các số thực a, b, c thoả : 0≤a≤b≤c≤1.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q=a²(b−c)+b²(c−b)+c²(1−c)

 

    Bài 3*(đề thi vào chuyên Toán chuyên Phan Bội Châu) 

 Cho các số thực a, b, c thoả mãn a,b≥0 ; c≥1 ; a+b+c=2.

 Tìm giá trị nhỏ nhất của P = (6-a²-b²-c²) (2-abc)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chu Quang Huy: 01-05-2017 - 16:28

[Nguyenphuctang]

Xin nhắ lại các mem nhớ ghi nguồn vào trước bài đăng. Nếu không biết xin hãy để sưu tầm như bạn trên. 

Các bạn thử sức với bài toán sau: 

 

Bài 33: (Khánh Sỹ)

Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$$ \sum_{cyc} \frac{a^{2}}{a+3} + \frac{ab+bc+ca}{4} \geq \frac{3}{2} $$

[Chu Quang Huy]

Bài 3*/(sưu tầm)

Cho các số thực a, b, c thoả mãn 0≤a,b,c≤1 và a+b+c≥2 Chứng minh rằng:

ab(a+1)+bc(b+1)+ca(c+1)≥2

 

    Bài 3*/(sưu tầm/do mình quên,đây là một bài trong đề thi chuyên của tỉnh nào đó trong mấy năm gần đây)  

Cho các số thực a, b, c thoả : 0≤a≤b≤c≤1.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q=a²(b−c)+b²(c−b)+c²(1−c)

 

    Bài 3*(đề thi vào chuyên Toán chuyên Phan Bội Châu năm 2014) 

 Cho các số thực a, b, c thoả mãn a,b≥0 ; c≥1 ; a+b+c=2.

 Tìm giá trị nhỏ nhất của P = (6-a²-b²-c²) (2-abc)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 02-05-2017 - 05:47

[Chu Quang Huy]

Bài **/(sưu tầm) Cho các số thực a, b, c thoả mãn 0≤a,b,c≤1 và a+b+c≥2 Chứng minh rằng:

ab(a+1)+bc(b+1)+ca(c+1)≥2

Bài **/(sưu tầm)  (là một bài trong đề thi chuyên của một tỉnh trong những năm gần đây mà mình lại quên mất là tỉnh nào)

Cho các số thực a, b, c thoả : 

0≤a≤b≤c≤1.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q=a²(b−c)+b²(c−b)+c²(1−c)

Bài **/ (đề  thi vào chuyên Toán trường THPT chuyên Phan Bội Châu,Nghệ An  năm 2014)

Cho các số thực a, b, c thoả mãn a,b≥0; c≥1; a+b+c=2

Tìm giá trị nhỏ nhất của P= (6-a²-b²-c²) (2-abc)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tritanngo99: 02-05-2017 - 05:46

[tuaneee111]

Xin nhắ lại các mem nhớ ghi nguồn vào trước bài đăng. Nếu không biết xin hãy để sưu tầm như bạn trên. 

Các bạn thử sức với bài toán sau: 

 

Bài 33: (Khánh Sỹ)

Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$$ \sum_{cyc} \frac{a^{2}}{a+3} + \frac{ab+bc+ca}{4} \geq \frac{3}{2} $$

 

Xin nhắ lại các mem nhớ ghi nguồn vào trước bài đăng. Nếu không biết xin hãy để sưu tầm như bạn trên. 

Các bạn thử sức với bài toán sau: 

 

Bài 33: (Khánh Sỹ)

Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$$ \sum_{cyc} \frac{a^{2}}{a+3} + \frac{ab+bc+ca}{4} \geq \frac{3}{2} $$

Không mất tính tổng quát ta giả sử rằng:

\[a = \max \left\{ {a,b,c} \right\} \Rightarrow a \ge 1\]

Đặt:

\[f\left( {a,b,c} \right) = \sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^2}}}{{a + 3}}}  + \frac{{ab + bc + ca}}{4} - \frac{3}{2}\]

Ta có:

\[f\left( {a,b,c} \right) - f\left( {a,\frac{{b + c}}{2},\frac{{b + c}}{2}} \right) = \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}\left( {144 - \left( {b + 3} \right)\left( {c + 3} \right)\left( {b + c + 6} \right)} \right)}}{{16\left( {b + 3} \right)\left( {c + 3} \right)\left( {b + c + 6} \right)}}\]

\[ = \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}\left( {bc + 3\left( {3 - a} \right) + 9} \right)\left( {9 - a} \right)}}{{16\left( {b + 3} \right)\left( {c + 3} \right)\left( {b + c + 6} \right)}} \ge \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}\left( {{a^3} - 27{a^2} + 243a - 153} \right)}}{{64\left( {b + 3} \right)\left( {c + 3} \right)\left( {b + c + 6} \right)}} \ge 0\]

Mặt khác ta lại có:

\[f\left( {a,\frac{{3 - a}}{2},\frac{{3 - a}}{2}} \right) = \frac{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}\left( {3{a^2} - 18a + 27} \right)}}{{16\left( {a + 3} \right)\left( {9 - a} \right)}} \ge 0\]

Vậy bất đẳng thức được chứng minh thành công!

[TrBaoChis]

Không mất tính tổng quát ta giả sử rằng:

\[a = \max \left\{ {a,b,c} \right\} \Rightarrow a \ge 1\]

Đặt:

\[f\left( {a,b,c} \right) = \sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^2}}}{{a + 3}}}  + \frac{{ab + bc + ca}}{4} - \frac{3}{2}\]

Ta có:

\[f\left( {a,b,c} \right) - f\left( {a,\frac{{b + c}}{2},\frac{{b + c}}{2}} \right) = \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}\left( {144 - \left( {b + 3} \right)\left( {c + 3} \right)\left( {b + c + 6} \right)} \right)}}{{16\left( {b + 3} \right)\left( {c + 3} \right)\left( {b + c + 6} \right)}}\]

\[ = \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}\left( {bc + 3\left( {3 - a} \right) + 9} \right)\left( {9 - a} \right)}}{{16\left( {b + 3} \right)\left( {c + 3} \right)\left( {b + c + 6} \right)}} \ge \frac{{{{\left( {b - c} \right)}^2}\left( {{a^3} - 27{a^2} + 243a - 153} \right)}}{{64\left( {b + 3} \right)\left( {c + 3} \right)\left( {b + c + 6} \right)}} \ge 0\]

Mặt khác ta lại có:

\[f\left( {a,\frac{{3 - a}}{2},\frac{{3 - a}}{2}} \right) = \frac{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}\left( {3{a^2} - 18a + 27} \right)}}{{16\left( {a + 3} \right)\left( {9 - a} \right)}} \ge 0\]

Vậy bất đẳng thức được chứng minh thành công!

bạn có dùng phần mềm tính toán ko vậy 

[tuaneee111]

bạn có dùng phần mềm tính toán ko vậy 

ko mk toàn tính tay mà, đăng lên đây chỉ đăng những kết quả cuối thu đc còn những bước rườm ra khác thì bỏ qua, tại vì công việc phân tích nhân tử thì chắc là ai cx làm đc mà