Chủ đề này có 299 trả lời

[haccau]

BÀI 47:  (ĐỀ TOÁN CHUYÊN HCM-15-16)  

 Cho 2 số thực dương a,b thỏa mãn điều kiện: $a+b\leq 1$

CMR: $a^{2}-\frac{3}{4a}-\frac{a}{b}\leq -\frac{9}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi haccau: 05-05-2017 - 22:44

[Nguyenhuyen_AG]

Aảo quá .Có ai còn cách nào tự nhiên hơn không?

 

Cách dùng bất đẳng thức cổ điển thì có nhưng gõ lâu hơn phân tích bình phương.

 

Viết bất đẳng thức cần chứng minh lại như sau

\[(a^2+b^2+c^2)^3 \geqslant 9abc(a^3+b^3+c^3).\]

Giả sửa $a = \max\{a,b,c\}.$ Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có

\[9abc(a^3+b^3+c^3) \leqslant \left(ab+ca+\frac{a^3+b^3+c^3}{3a}\right)^3.\]

Ta cần chứng minh

\[a^2+b^2+c^2 \geqslant ab+ca+\frac{a^3+b^3+c^3}{3a},\]

thu gọn thành

\[\frac{(2a-b-c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{3a} \geqslant 0.\]

Hiển nhiên đúng nên ta có điều phải chứng minh.

 

[AnhTran2911]

BÀI 47:  (ĐỀ TOÁN CHUYÊN HCM-15-16) 

 Cho 2 số thực dương a,b thỏa mãn điều kiện: $a+b\leq 1$

CMR: $a^{2}-\frac{3}{4a}-\frac{a}{b}\leq -\frac{9}{4}$

BĐT $\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{3}{4a}\geq{a^2}+\frac{9}{4}$

Do $a+b\leq1$ nên $4ab\leq1$ và ta có đgiá $\frac{a}{b}\geq4a-4ab\geq4a-1$

Đưa về BĐT $4a+\frac{3}{4a}\geq{a^2}+\frac{13}{4}$ Đúng vì nó tương đương với $(3-a)(2a-1)^2\geq0$

Ps: Có ai làm được bài số 46 của bạn Nhoang1608 chưa ạ. Cho hỏi cái dấu bằng :v

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnhTran2911: 05-05-2017 - 23:17

[Hoang Dinh Nhat]

Bài toán 46: (Albania TST 2012)

   Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

                                            $\frac{1}{x^{2}-4x+9}+\frac{1}{y^{2}-4y+9}+\frac{1}{z^{2}-4z+9}$

   Trong đó $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $x+y+z=1$.

 

Ta có bổ đề: $\frac{1}{x^2-4x+9}\leq \frac{x}{18}+\frac{1}{9}$

$\Leftrightarrow x^3-2x^2+x=x(x-1)^2\geq 0$

BĐT cuối luôn đúng nên bổ đề được chứng minh

Áp dụng, ta có: $\sum \frac{1}{x^2-4x+9}\leq \frac{x+y+z}{18}+\frac{3}{9}=\frac{7}{18}$

Đạt tại: $x=y=0;z=1$ và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 06-05-2017 - 09:52

[Chu Quang Huy]

    Bài 48/(sưu tầm/do mình quên,đây là một bài trong đề thi chuyên của tỉnh nào đó trong mấy năm gần đây)  

          Cho các số thực a, b, c thoả : 0≤a≤b≤c≤1.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q=a²(b−c)+b²(c−b)+c²(1−c)

 

    Bài 49/ (đề thi vào chuyên Toán chuyên Phan Bội Châu) 

         Cho các số thực a, b, c thoả mãn a,b≥0 ; c≥1 ; a+b+c=2.

 Tìm giá trị nhỏ nhất của P = (6-a²-b²-c²) (2-abc)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chu Quang Huy: 06-05-2017 - 09:26

[Chu Quang Huy]

tích cực lên nào mấy bạn. mình thấy topic vắng vẻ quá.

[NHoang1608]

Bài toán 50 (HELLO IMO 2007).

Cho các số thực không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng

                                  $abc+2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+8 \geq 5(a+b+c)$.

[AnhTran2911]

Bài toán 50 (HELLO IMO 2007).

Cho các số thực không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng

                                  $abc+2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+8 \geq 5(a+b+c)$.

$LHS-RHS=\frac{1}{2} ((a^2+b^2+c^2+2abc+1-2ab-2bc-2ca)+(a+b+c-3)^2+2\sum(a-1)^2)\geq0$

PPS: Đây là hệ quả trực tiếp của BĐT tổng quát thầy Trần Nam Dũng:

Cho $a,b,c \geq0$ thì $abc+2+k[\sum(a-1)^2]\geq{a+b+c}$ Với $k$ là số thực, $k\geq\frac{1}{\sqrt2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnhTran2911: 06-05-2017 - 15:45

[AnhTran2911]

Bái Toán 51 ( VÕ QUỐC BÁ CẨN )

Cho $a,b,c \geq0$ thỏa mãn không có hai số nào đồng thời bằng 0 

CMR; $\sum\frac{1}{\sqrt{3a^2+bc}}\geq\frac{2+\sqrt3}{\sqrt{3(ab+bc+ca)}}$

[Mr Cooper]

$\boxed{\textbf{Bài Toán 52}}$ $\text{[Vasile Cirtoaje]}$ Cho $3$ số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:

\[(a^2+b^2+c^2)^2 \ge 3(a^3b+b^3c+c^3a)\]

[Hoang Dinh Nhat]

$\boxed{\textbf{Bài Toán 52}}$ $\text{[Vasile Cirtoaje]}$ Cho $3$ số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:

\[(a^2+b^2+c^2)^2 \ge 3(a^3b+b^3c+c^3a)\]

 

BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow \frac{(3a^2-3ab-3ac-3b^2+6bc)^2+(-3ab+6ac+3b^2-3bc-3c^2)^2+(-3a^2+6ab-3ac-3bc+3c^2)^2}{18}$$\geq 0$

BĐT cuối luôn đúng nên BĐT được chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 08-05-2017 - 16:29

[AnhTran2911]

Bài này anh huyện đã giải bằng CS. ngoài ra còn có pp phân bình phương , dùng BĐT quen thuôc hay pp tịnh tiến trên trục số và đưa về hàm bậc hai,...

 Ve bai toan British MO 1986.pdf   159.45K   121 Số lần tải ( Nguyễn Văn Huyện )

P\s: có ai làm đc bài 51 chưa ạ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnhTran2911: 08-05-2017 - 16:33

[sharker]

$\boxed{\textbf{Bài Toán 52}}$ $\text{[Vasile Cirtoaje]}$ Cho $3$ số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:

\[(a^2+b^2+c^2)^2 \ge 3(a^3b+b^3c+c^3a)\]

Đặt $b=a+x$, $c=a+y$ Bất đẳng thức viết laị dưới dạng :

$(x^2-xy+y^2)a^2-(x^3-5x^2y+4xy^2+y^3)a+x^4-3x^3y+2x^2y^2+y^4\geqslant 0$

TH1: $x^2-xy+y^2=0$ thì $x=y=0$ nên BDT đúng

TH2: $x^2+xy+y^2>0$

Ta có $\Delta a= (x^3-5x^2y+4xy^2+y^3)^2-4(x^2-xy+y^2)(x^4-3x^3y+2x^2y^2+4y^4)$

$=-3(x^3-x^2y-2xy^2+y^3)^2 \leqslant 0 $

Vậy Bdt được chứng minh theo định lý về dấu của tam thức bậc 2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sharker: 09-05-2017 - 02:52

[Mr Cooper]

$\boxed{\textbf{Bài Toán 52}}$ $\text{[Vasile Cirtoaje]}$ Cho $3$ số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:

\[(a^2+b^2+c^2)^2 \ge 3(a^3b+b^3c+c^3a)\]

Cách khác ngắn gọn hơn

 

$(a^2+b^2+c^2)^2 \ge 3(a^3b+b^3c+c^3a)$

$\Leftrightarrow [\sum (a^2+bc-ab)]^2 \ge 3\sum(a^2+bc-ab)(b^2+ca-bc)$

Đặt $x=a^2+bc-ab;y=b^2+ca-bc;z=c^2+ab-ca$ ta quy về bài toán quen thuộc:

$(x+y+z)^2 \ge 3(xy+yz+zx) \Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 \ge 0$

[Drago]

Bài toán 53:[Võ Quốc Bá Cẩn]

Cho a,b,c là các số thực thoả mãn $a+b+c=6;a^2+b^2+c^2=14$.

Chứng minh rằng: $4a+b\geq 2c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 15-05-2017 - 17:42

[tienduc]

$\boxed{\textbf{Bài Toán 52}}$ $\text{[Vasile Cirtoaje]}$ Cho $3$ số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng:

\[(a^2+b^2+c^2)^2 \ge 3(a^3b+b^3c+c^3a)\]

Cách khác

Xét hiệu 

$(a^2+b^2+c^2)^2-3(a^3b+b^3c+c^3a)=\frac{1}{2}(a^2-b^2+2bc-ab-ac)^2+\frac{1}{2}(b^2-c^2+2ca-bc-ab)^2+\frac{1}{2}(c^2-a^2+2ab-ca-bc)^2 \geq 0$

Từ đây ta có $đpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 10-05-2017 - 21:36

[canletgo]

Mọi người làm hộ mk bài này với...cảm ơn nhiều 

Cho a, b, c và a + b + c $\leq$ 1

CMR: $\sqrt{a^{2}+\frac{1}{a^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{c^{2}}}\geq \sqrt{82}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi canletgo: 10-05-2017 - 21:03

[tienduc]

Mọi người làm hộ mk bài này với...cảm ơn nhiều 

Cho a, b, c và a + b + c $\leq$ 1

CMR: $\sqrt{a^{2}+\frac{1}{a^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{c^{2}}}\geq \sqrt{82}$

Áp dụng BĐT $Bunyakovsky$ ta có

$\sqrt{(1^2+9^2)(a^2+\frac{1}{a^2})}\geq a+\frac{9}{a}\rightarrow a^2+\frac{1}{a}\geq \frac{1}{\sqrt{82}}(a+\frac{9}{a})$

CMTT $\rightarrow b^2+\frac{1}{b^2}\geq \frac{1}{\sqrt{82}}(b+\frac{9}{b});c^2+\frac{1}{c^2}\geq \frac{1}{\sqrt{82}}(c+\frac{9}{c})$

$\rightarrow VT\geq \frac{1}{\sqrt{82}}(a+b+c+\frac{9}{a}+\frac{9}{b}+\frac{9}{c})=\frac{1}{\sqrt{82}}[(81a+\frac{9}{a})+(81b+\frac{9}{b})+(81c+\frac{9}{c})-80(a+b+c)]$

Áp dụng BĐT $Cauchy$ ta có

$81a+\frac{9}{a}\geq 54;81b+\frac{9}{b}\geq 54;81c+\frac{9}{c}\geq 54$

$\rightarrow VT\geq \frac{1}{\sqrt{82}}(54+54+54-80)= \sqrt{82}$

Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

[Nguyenphuctang]

Hôm nay dạo trên facebook thấy bài này vui vui:
Bài 54: [Trần Hoàng Nam]

Cho a, b, c  là các số thực thỏa mãn $a+b+c=4$. Chứng minh rằng:

$$ (a^{2}+3)(b^{2}+3)(c^{2}+3) +26abc \geq 143 $$

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenphuctang: 11-05-2017 - 13:35

[Doflamingo]

BÀI 55 (sưu tầm)

Cho x,y,z là 3 số dương thỏa mãn: 1+x+y+z=2xyz

Tìm GTNN của P= $\frac{xy}{1+x+y}+\frac{yz}{1+y+z}+\frac{zx}{1+z+x}$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Doflamingo: 12-05-2017 - 14:05