Chủ đề này có 299 trả lời

[Hoang Dinh Nhat]

Bài toán 89

1,Cho các số thực không âm a,b,c. CMR:

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geqslant 2\sqrt{1+\frac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

 

2,Cho các số thực dương a,b,c.CMR:

$\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geqslant \sqrt{\frac{3}{2}(a+b+c)}$

 

Bài 2:

BĐT $\Leftrightarrow (\sum \frac{a}{\sqrt{b+c}})^2\geq \frac{3(a+b+c)}{2}$

Áp dụng BĐT Holder ta có:$(\sum \frac{a}{\sqrt{b+c}})^2(\sum a(b+c))\geq (a+b+c)^3\Leftrightarrow (\sum \frac{a}{\sqrt{b+c}})^2\geq \frac{(a+b+c)^3}{\sum a(b+c)}$

Cần chứng minh: $ \frac{(a+b+c)^3}{\sum a(b+c)}\geq \frac{3(a+b+c)}{2}\Leftrightarrow  \frac{(a+b+c)^2}{\sum a(b+c)}\geq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow 2(a+b+c)^2\geq 3(ab+ac+bc+ab+ac+bc)\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)+4(ab+bc+ca)\geq 6(ab+bc+ca)\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\geq 0$(đúng theo AM-GM)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 27-05-2017 - 19:28

[murasaki]

Bài toán 90 : Cho các số thực $a,b,c$\in [0;1]$. Cmr : $a^3+b^3+c^3\leq a^3b +b^3c+c^3a +1$

Bài toán 91 : Cho các số thực $a,b,c$\in [0;1]$. Cmr : $3+a^3b^2+b^3c^2+c^3a^2\geq 2(a^3+^3+c^3)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi murasaki: 28-05-2017 - 18:24

[Hai2003]

Bài 90 ngược dấu à. Nếu $a,b,c \in [0,1]$ thì $a^3\geq a^3b$

[HoangKhanh2002]

Bài toán 90 : Cho các số thực $a,b,c$\in [0;1]$. Cmr : $a^3+b^3+c^3\leq a^3b +b^3c+c^3a$

$\boxed{\text{Lời giải bài 90}}$

BĐT đã cho tương đương với: $a^3(1-b)+b^3(1-c)+c^3(1-a)\leqslant 0$ (BĐT này luôn đúng vì $a,b,c$ $\in [0;1]$)

Dấu "=" xảy ra khi: $(a,b,c)=(1,1,1);(0,1,0);(0,0,0)(1,1,0)$ và các hoán vị

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 28-05-2017 - 16:24

[murasaki]

$\boxed{\text{Lời giải bài 90}}$

BĐT đã cho tương đương với: $a^3(1-b)+b^3(1-c)+c^3(1-a)\leqslant 0$ (BĐT này luôn đúng vì $a,b,c$ $\in [0;1]$)

Dấu "=" xảy ra khi: $(a,b,c)=(1,1,1);(0,1,0);(0,0,0)(1,1,0)$ và các hoán vị

mình ghi sai đề , thiếu +1

[TruongQuangTan]

Bài Toán: Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn: $ab+bc+ca=k$

Chứng minh: $\sum \frac{1}{a^2-bc+1}\leq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TruongQuangTan: 28-05-2017 - 19:59

[TenLaGi]

mình ghi sai đề , thiếu +1

 

Theo chứng minh của HoangKhanh2002, ta đã có:

 

$\boxed{\text{Lời giải bài 90}}$

BĐT đã cho tương đương với: $a^3(1-b)+b^3(1-c)+c^3(1-a)\leqslant 0$ (BĐT này luôn đúng vì $a,b,c$ $\in [0;1]$)

Dấu "=" xảy ra khi: $(a,b,c)=(1,1,1);(0,1,0);(0,0,0)(1,1,0)$ và các hoán vị

Đoạn này có vấn đề, cần xem lại!!

[Doflamingo]

Bài toán 91

1,Cho a,b là các số thỏa mãn 0<a<3, 0<b<4. Tìm GTNN của tổng

A= $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{(3-a)^{2}+(4-b)^{2}}$

 

2,Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện 4a+3b+4c=22. Tìm GTNN của biểu thức

P= $a+b+c+\frac{1}{3a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}$

 

3,Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Tìm GTNN của biểu thức

P= $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$

 

4,Cho các số thực x,y thỏa mãn $x^{2}+y^{2}=1$.Tìm GTLN và GTNN của biểu thức

M= $\sqrt{3}xy+y^{2}$

 

5,Cho x,y,z>0 và x+y+z=1. TÌm GTNN của:

P= $\frac{2}{xy+yz+zx}+\frac{9}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

 

6,Cho x,y thỏa mãn $0< x,y\leqslant 1$ và x+y=3xy. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức

P= $x^{2}+y^{2}-4xy$

 

7,Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=12$. Tìm GTNN của biểu thức

P= $a^{3}+b^{3}+c^{3}$

 

8,Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn $x+y\leqslant z$. CMR:

$(x^{2}+y^{2}+z^{2})\left ( \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}} \right )\geqslant \frac{27}{2}$

 

9,Cho các số dương x,y,z. CMR:

$\frac{xy}{x^{2}+yz+zx}+\frac{yz}{y^{2}+zx+xy}+\frac{zx}{z^{2}+xy+yz}\leqslant \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{xy+yz+zx}$

 

10,Cho các số thực x,y,z dương. CM

$\frac{1}{x^{3}y^{3}}+\frac{y^{3}}{z^{3}}+x^{3}z^{3}\geqslant \frac{1}{x^{2}y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+x^{2}z^{2}$

[nguyenduy287]

Bài toán 91

1,Cho a,b là các số thỏa mãn 0<a<3, 0<b<4. Tìm GTNN của tổng

A= $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{(3-a)^{2}+(4-b)^{2}}$

 

2,Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện 4a+3b+4c=22. Tìm GTNN của biểu thức

P= $a+b+c+\frac{1}{3a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}$

 

3,Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Tìm GTNN của biểu thức

P= $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$

 

4,Cho các số thực x,y thỏa mãn $x^{2}+y^{2}=1$.Tìm GTLN và GTNN của biểu thức

M= $\sqrt{3}xy+y^{2}$

 

5,Cho x,y,z>0 và x+y+z=1. TÌm GTNN của:

P= $\frac{2}{xy+yz+zx}+\frac{9}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

 

6,Cho x,y thỏa mãn $0< x,y\leqslant 1$ và x+y=3xy. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức

P= $x^{2}+y^{2}-4xy$

 

7,Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=12$. Tìm GTNN của biểu thức

P= $a^{3}+b^{3}+c^{3}$

 

8,Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn $x+y\leqslant z$. CMR:

$(x^{2}+y^{2}+z^{2})\left ( \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}} \right )\geqslant \frac{27}{2}$

 

9,Cho các số dương x,y,z. CMR:

$\frac{xy}{x^{2}+yz+zx}+\frac{yz}{y^{2}+zx+xy}+\frac{zx}{z^{2}+xy+yz}\leqslant \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{xy+yz+zx}$

 

10,Cho các số thực x,y,z dương. CM

$\frac{1}{x^{3}y^{3}}+\frac{y^{3}}{z^{3}}+x^{3}z^{3}\geqslant \frac{1}{x^{2}y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+x^{2}z^{2}$

1. bài này khá là dễ ha 

chỉ cần sử dụng bổ đề $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+y^2}\geq \sqrt{(a+x)^2+(b+y)^2}$ là xong rồi nhan !

5 bài này cũng dễ $P=\frac{4}{2(xy+yz+xz)}+\frac{9}{x^2+y^2+z^2}\geq \frac{(2+3)^2}{(x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz)}=25$

7 sử dụng bổ đề $3(a^3+b^3+c^3)^2\geq (a^2+b^2+c^2)^3$

4 ta có thể xem xét $M=\frac{\sqrt{3}xy+y^2}{x^2+y^2}$

xét y=0 =>x => M

xét y khác 0 ta chia tử mẫu cho $y^2$ ta viết lại $M=\frac{\sqrt{3}t+1}{t^2+1}$ với t=$\frac{x}{y}$, nhân chéo lên đc 1 phương trình bậc 2 theo ẩn t và từ đó xét $\Delta$ sẽ được min max 

P/s : mình xem mấy bài dễ nhận ra trước thôi..... mấy bài khó thì tính sau

[truongquangtuann]

Cho $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ .CMR :$\frac{a^2}{a+bc}+\frac{b^2}{b+ca}+\frac{c^2}{c+ab}\geq \frac{a+b+c}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 29-05-2017 - 10:41

[tuaneee111]

Cho 1/a+1/b+1/c=1 .CMR : a^2/(a+bc)+b^2/(b+ca)+c^2(c+ab)>=(a+b+c)/4

Theo giả thiết ta có: $abc = ab + bc + ca$

Theo bất đẳng thức $Cauchy - Schwarz$ dạng $Engel$ ta có: $$\sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^2}}}{{a + bc}}}  = \sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^4}}}{{{a^3} + {a^2}bc}}}  \geqslant \frac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2}}}{{{a^3} + {b^3} + {c^3} + abc\left( {a + b + c} \right)}}$$

Sử dụng giả thiết trên ta cần chứng minh: $$\frac{{{{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}^2}}}{{{a^3} + {b^3} + {c^3} + \left( {ab + bc + ca} \right)\left( {a + b + c} \right)}} \geqslant \frac{{a + b + c}}{4}$$$$ \Leftrightarrow 4{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^2} \geqslant \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3} + \left( {ab + bc + ca} \right)\left( {a + b + c} \right)} \right)$$$$ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sum\limits_{cyc} {{{\left( {a - b} \right)}^2}\left( {3{a^2} + 3{b^2} + 4{c^2} + ab + bc + ca} \right) \geqslant 0} $$Bất đẳng thức cuối luôn đúng nên có điều phải chứng minh!

[tuaneee111]

1. bài này khá là dễ ha 

chỉ cần sử dụng bổ đề $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+y^2}\geq \sqrt{(a+x)^2+(b+y)^2}$ là xong rồi nhan !

5 bài này cũng dễ $P=\frac{4}{2(xy+yz+xz)}+\frac{9}{x^2+y^2+z^2}\geq \frac{(2+3)^2}{(x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz)}=25$

7 sử dụng bổ đề $3(a^3+b^3+c^3)^2\geq (a^2+b^2+c^2)^3$

4 ta có thể xem xét $M=\frac{\sqrt{3}xy+y^2}{x^2+y^2}$

xét y=0 =>x => M

xét y khác 0 ta chia tử mẫu cho $y^2$ ta viết lại $M=\frac{\sqrt{3}t+1}{t^2+1}$ với t=$\frac{x}{y}$, nhân chéo lên đc 1 phương trình bậc 2 theo ẩn t và từ đó xét $\Delta$ sẽ được min max 

P/s : mình xem mấy bài dễ nhận ra trước thôi..... mấy bài khó thì tính sau

10.

Theo $AM-GM$ ta có: $$\frac{1}{{{x^3}{y^3}}} + \frac{1}{{{x^3}{y^3}}} + 1 \geqslant 3\root 3 \of {\frac{1}{{{x^6}{y^6}}}}  = \frac{3}{{{x^2}{y^2}}}$$$$\frac{{{y^3}}}{{{z^3}}} + \frac{{{y^3}}}{{{z^3}}} + 1 \geqslant 3\root 3 \of {\frac{{{y^6}}}{{{z^6}}}}  = \frac{{3{y^2}}}{{{z^2}}}$$$${x^3}{z^3} + {x^3}{z^3} + 1 \geqslant 3\root 3 \of {{x^6}{z^6}}  = 3{x^2}{z^2}$$$$ \Rightarrow \frac{1}{{{x^3}{y^3}}} + \frac{{{y^3}}}{{{z^3}}} + {x^3}{z^3} \geqslant \frac{3}{2}\left( {\frac{1}{{{x^2}{y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{z^2}}} + {x^2}{z^2} - 1} \right)$$Cần chứng minh bất đẳng thức sau đúng: $$\frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{{x^2}{y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{z^2}}} + {x^2}{z^2}} \right) \geqslant \frac{3}{2}$$Bất đẳng thức đúng theo $AM-GM$ nên có điều phải chứng minh!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuaneee111: 29-05-2017 - 10:45

[tuaneee111]

Bài toán 91

1,Cho a,b là các số thỏa mãn 0<a<3, 0<b<4. Tìm GTNN của tổng

A= $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{(3-a)^{2}+(4-b)^{2}}$

 

2,Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện 4a+3b+4c=22. Tìm GTNN của biểu thức

P= $a+b+c+\frac{1}{3a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}$

 

3,Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Tìm GTNN của biểu thức

P= $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$

 

4,Cho các số thực x,y thỏa mãn $x^{2}+y^{2}=1$.Tìm GTLN và GTNN của biểu thức

M= $\sqrt{3}xy+y^{2}$

 

5,Cho x,y,z>0 và x+y+z=1. TÌm GTNN của:

P= $\frac{2}{xy+yz+zx}+\frac{9}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

 

6,Cho x,y thỏa mãn $0< x,y\leqslant 1$ và x+y=3xy. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức

P= $x^{2}+y^{2}-4xy$

 

7,Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=12$. Tìm GTNN của biểu thức

P= $a^{3}+b^{3}+c^{3}$

 

8,Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn $x+y\leqslant z$. CMR:

$(x^{2}+y^{2}+z^{2})\left ( \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}} \right )\geqslant \frac{27}{2}$

 

9,Cho các số dương x,y,z. CMR:

$\frac{xy}{x^{2}+yz+zx}+\frac{yz}{y^{2}+zx+xy}+\frac{zx}{z^{2}+xy+yz}\leqslant \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{xy+yz+zx}$

 

10,Cho các số thực x,y,z dương. CM

$\frac{1}{x^{3}y^{3}}+\frac{y^{3}}{z^{3}}+x^{3}z^{3}\geqslant \frac{1}{x^{2}y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+x^{2}z^{2}$

7. Đặt $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}p=a+b+c\\q=ab+bc+ca\\r=abc\end{array} \right.\Rightarrow p\in \left( {2\sqrt{3};6} \right]$

Theo $Schur$ và sử dụng giả thiết ta có: $ \displaystyle r\ge \frac{{p\left( {2\left( {{{p}^{2}}-12} \right)-{{p}^{2}}} \right)}}{9}$

Khi đó: $$ \displaystyle P={{p}^{3}}-3pq+3r\ge {{p}^{3}}-3p\left( {\frac{{{{p}^{2}}-12}}{2}} \right)+\frac{{p\left( {2\left( {{{p}^{2}}-12} \right)-{{p}^{2}}} \right)}}{3}=\frac{{\left( {p-6} \right)\left( {-{{p}^{2}}-6p+24} \right)}}{6}+24\ge 24$$

Bất đẳng thức cuối đúng với $ \displaystyle p\in \left( {2\sqrt{3};6} \right]$ nên ta được $ \displaystyle \min P=24$

[TruongQuangTan]

Cho $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ .CMR :$\frac{a^2}{a+bc}+\frac{b^2}{b+ca}+\frac{c^2}{c+ab}\geq \frac{a+b+c}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TruongQuangTan: 29-05-2017 - 15:48

[Hoang Dinh Nhat]

 

 

 

3,Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Tìm GTNN của biểu thức

P= $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$

 

 

 

 

Dễ dàng chứng minh được $a^2+b^2+c^2\geq a^2b+b^2c+c^2a$ và $a^2+b^2+c^2\geq 3$

$P\geq a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}$

Đặt $a^2+b^2+c^2=x(x>0)$ rồi tách gép theo điểm rơi là được

[tuaneee111]

Bài toán 91

1,Cho a,b là các số thỏa mãn 0<a<3, 0<b<4. Tìm GTNN của tổng

A= $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{(3-a)^{2}+(4-b)^{2}}$

 

2,Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện 4a+3b+4c=22. Tìm GTNN của biểu thức

P= $a+b+c+\frac{1}{3a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}$

 

3,Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Tìm GTNN của biểu thức

P= $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$

 

4,Cho các số thực x,y thỏa mãn $x^{2}+y^{2}=1$.Tìm GTLN và GTNN của biểu thức

M= $\sqrt{3}xy+y^{2}$

 

5,Cho x,y,z>0 và x+y+z=1. TÌm GTNN của:

P= $\frac{2}{xy+yz+zx}+\frac{9}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

 

6,Cho x,y thỏa mãn $0< x,y\leqslant 1$ và x+y=3xy. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức

P= $x^{2}+y^{2}-4xy$

 

7,Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=12$. Tìm GTNN của biểu thức

P= $a^{3}+b^{3}+c^{3}$

 

8,Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn $x+y\leqslant z$. CMR:

$(x^{2}+y^{2}+z^{2})\left ( \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}} \right )\geqslant \frac{27}{2}$

 

9,Cho các số dương x,y,z. CMR:

$\frac{xy}{x^{2}+yz+zx}+\frac{yz}{y^{2}+zx+xy}+\frac{zx}{z^{2}+xy+yz}\leqslant \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{xy+yz+zx}$

 

10,Cho các số thực x,y,z dương. CM

$\frac{1}{x^{3}y^{3}}+\frac{y^{3}}{z^{3}}+x^{3}z^{3}\geqslant \frac{1}{x^{2}y^{2}}+\frac{y^{2}}{z^{2}}+x^{2}z^{2}$

Bài 5 đã đc 1 bạn trong diễn đàn giải ở đây rùi: https://diendantoanh...xydfrac9sum-x2/  

[truongquangtuann]

Cho a,b,c là các số thực dương . TÌm GTNN của biểu thức $P=\frac{(1+a^3)}{(1+ab^2)} +\frac{(1+b^3)}{(1+bc^2)} +\frac{(1+c^3)}{(1+ca^2)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 30-05-2017 - 11:12

[Doflamingo]

Bài toán 92

Cho $0< x< y\leqslant 3$ và $2xy\leqslant 3x+y$. Tìm GTLN của

$x^{2}+y^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Doflamingo: 30-05-2017 - 22:18

[Doflamingo]

Bài toán 93

Cho x,y,z là các số thực sao cho $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. Tìm GTLN của

A= $(x^{2}-yz)(y^{2}-zx)(z^{2}-xy)$

[Drago]

Bài toán 92

Cho $0< x< y\leqslant 3$ và $2xy\leqslant 3x+y$. Tìm GTLN của

$x^{2}+y^{2}$