Chủ đề này có 299 trả lời

[F IT Hacker]

Cho a;b;c >0. C/M : $\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}\leq \sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}}$

Bài này mình mở rộng từ câu 3 của HN-Amsterdam 2015, ae làm thử

[Nguyenphuctang]

Bài toán 93

Cho x,y,z là các số thực sao cho $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. Tìm GTLN của

A= $(x^{2}-yz)(y^{2}-zx)(z^{2}-xy)$

$$ \prod (x^{2}-yz)  \leq  \dfrac{1}{8}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3} = \dfrac{1}{8}$$
Bài này là Korean MO 2016 ngày thứ 2

[God Guys]

$$ \prod (x^{2}-yz)  \leq  \dfrac{1}{8}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3} = \dfrac{1}{8}$$
Bài này là Korean MO 2016 ngày thứ 2

cụ thể hơn được ko bạn 

[God Guys]

Cho a;b;c >0. C/M : $\sqrt{\frac{ab+bc+ca}{3}}\leq \sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}}$

Bài này mình mở rộng từ câu 3 của HN-Amsterdam 2015, ae làm thử

câu này có trong ST BĐT của PKH rồi nhỉ
chuẩn hóa $(a+b)(b+c)(c+a)$ = 1 thì sẽ đưa về bài Ams 2015
nhưng $(a+b)(b+c)(c+a)$ = 8 sẽ dễ làm hơn    
đến đây sử dụng BĐT 8/9 là xong
 

[F IT Hacker]

câu này có trong ST BĐT của PKH rồi nhỉ
chuẩn hóa $(a+b)(b+c)(c+a)$ = 1 thì sẽ đưa về bài Ams 2015
nhưng $(a+b)(b+c)(c+a)$ = 8 sẽ dễ làm hơn    
đến đây sử dụng BĐT 8/9 là xong
 

Cái này mình nghĩ nên đặt (a+b)(b+c)(c+a) = 8$m^{3}$ sẽ tổng quát hơn

Chứ mình không thích cái cách chuẩn hóa cho lắm

[F IT Hacker]

Cho $a < b$ C/M $a^{3}-12a \leq b^{3}-12b+32$ (Đề dự bị KHTN vòng 1 năm 2007/08)

[didifulls]

Bài toán 91

 

 

4,Cho các số thực x,y thỏa mãn $x^{2}+y^{2}=1$.Tìm GTLN và GTNN của biểu thức

M= $\sqrt{3}xy+y^{2}$

 

$\sqrt{3}xy+y^{2} \leq \frac{3x^2 +y^2}{2} +y^2 = \frac{3(x^2+y^2)}{2} = \frac{3}{2}$
Max ( : 

[F IT Hacker]

cụ thể hơn được ko bạn 

ta có $\prod \left ( x^{2} - yz\right )\leq \frac{1}{27}\left ( \sum \left (x^{2} - yz \right ) \right )^{3}$ (1)

$2(\sum \left ( x^{2}-yz \right ))\leq 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})$ (trừ 2 vế đi thôi ha    )  (2)

Từ (1) và (2) bn chắc suy ra đc rồi

 

$$ \prod (x^{2}-yz)  \leq  \dfrac{1}{8}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3} = \dfrac{1}{8}$$
Bài này là Korean MO 2016 ngày thứ 2

bạn nên làm chi tiết hơn vì có thể sẽ có 1 số bn ko hiểu đâu, trên pic này cx có 1 số bn ko giỏi bđt mà

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi F IT Hacker: 14-06-2017 - 16:47

[F IT Hacker]

$\sqrt{3}xy+y^{2} \leq \frac{3x^2 +y^2}{2} +y^2 = \frac{3(x^2+y^2)}{2} = \frac{3}{2}$
Max ( : 

Min :

Ta có$\sqrt{3}xy + y^{2}\geq -\frac{x^{2}+3y^{2}}{2}+y^{2}$

Tự làm tiếp thôi bạn :

[Nguyenphuctang]

Bài toán 93

Cho x,y,z là các số thực sao cho $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. Tìm GTLN của

A= $(x^{2}-yz)(y^{2}-zx)(z^{2}-xy)$

Vừa mới kiểm lại. Bài này trùng với bài 12 mình đã đăng.
 

 

ta có $\prod \left ( x^{2} - yz\right )\leq \frac{1}{27}\left ( \sum \left (x^{2} - yz \right ) \right )^{3}$ (1)

$2(\sum \left ( x^{2}-yz \right ))\leq 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})$ (trừ 2 vế đi thôi ha    )  (2)

Từ (1) và (2) bn chắc suy ra đc rồi

 

bạn nên làm chi tiết hơn vì có thể sẽ có 1 số bn ko hiểu đâu, trên pic này cx có 1 số bn ko giỏi bđt mà

Lời giải này sai. Đẳng thức xảy ra khi  $x = \sqrt{\dfrac{1}{2}}; y = - \sqrt{\dfrac{1}{2}}; z = 0$ hoặc các hoán vị chứ các biến có bằng nhau đâu???
Lời giải mình đã đưa ra bổ đề trên các bạn chỉ duy nhất chứng minh nó thôi bằng tương đương. Mình làm như thế là tắt à?

[Hacker F]

Vừa mới kiểm lại. Bài này trùng với bài 12 mình đã đăng.
 

 

Lời giải này sai. Đẳng thức xảy ra khi  $x = \sqrt{\dfrac{1}{2}}; y = - \sqrt{\dfrac{1}{2}}; z = 0$ hoặc các hoán vị chứ các biến có bằng nhau đâu???
Lời giải mình đã đưa ra bổ đề trên các bạn chỉ duy nhất chứng minh nó thôi bằng tương đương. Mình làm như thế là tắt à?

3 biến KHÔNG THỂ bằng nhau nhé bạn

Nếu 3 biến BẰNG NHAU thì A = 0 hả bạn

P/S : Mình là clone của F IT Hacker, nick chính mk đang bị dispost 2 ngày, dùng nick này rep bạn

[Hacker F]

Cho $a < b$ C/M $a^{3}-12a \leq b^{3}-12b+32$ (Đề dự bị KHTN vòng 1 năm 2007/08)

bài này ko ai làm à, đừng để trôi thế chứ

[trinhhoangdung123456]

 

Sau khi topic hình học, hệ phương trình, phương trình,... đã mở thì mình mở luôn topic này cho xôm.

 

Các bạn cứ vào đây tham gia thảo luận nhé.

 

 Một số quy định khi tham gia TOPIC: 

• Không đăng các bài còn hạn trên các tạp chí THTT, TTT2, Pi,.....
• Vui lòng đánh số bài khi tham gia Topic, ghi nguồn rõ ràng (nếu không nhớ rõ thì để là sưu tầm).
• Không văng tục, spam, dùng lời lẽ xúc phạm các thành viên.
• Hạn chế hỏi bài tập về nhà.
• Lời giải ưu tiên gọn nhẹ, sáng tạo phù hợp với THCS (Không giới hạn về kiến thức, phương pháp giải).

Mong mọi người ủng hộ Topic.

 

Sau đây là những bài toán đề xuất đầu tiên: 

 

Bài 1: (Thi thử vào 10 chuyên toán KHTN 2016-2017 đợt 1 vòng 2)

Cho a, b, c > 0; ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{1-a^{2}}{1+a^{2}}\leq \sum \frac{a}{\sqrt{1+a^{2}}}$

Bài 2: (JBMO 2016)

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{8}{(a+b)^{2}+4abc}+a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \sum \frac{8}{a+3}$

 

Bài 3: (Nguyễn Phúc Tăng - Trần Quốc Anh - Tạp chí Toán học Rumania)

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+a+b+c \geq 6$

 

Cho x,y thỏa mãn P=x2+2xy+7(x+y)+2y2+10=0. Tìm min, max A=x+y+1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trinhhoangdung123456: 08-07-2017 - 11:26

[buingoctu]

Cho 1$\leq$a,b,c$\leq$2. Chứng minh: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq 10$. < kỳ thi chuyên Trần phú 2013-2014>

[trieutuyennham]

Cho 1$\leq$a,b,c$\leq$2. Chứng minh: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq 10$. < kỳ thi chuyên Trần phú 2013-2014>

tại đây

https://diendantoanh...rac1cleq-10036/

[buingoctu]

Cho các số a, b, c, d thỏa mãn điều kiện: ac – bd = 1.
Chứng minh rằng: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+ad+bc\geq \sqrt{3}$

[Doflamingo]

1,Cho a,b,c,d>0 và a+b+c+d=1.CMR:

$\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{d}}\leq (a+c)(b+d)$

 

2,Cho các số thực a,b,c,d thỏa mãn abcd=1.CMR:

T=$\frac{1}{(1+a)^{2}}+\frac{1}{(1+b)^{2}}+\frac{1}{(1+c)^{2}}+\frac{1}{(1+d)^{2}}\geq 1$

 

3,Cho các số thực a,b,c,d$\geq \frac{1}{\sqrt{2}}$ thỏa mãn a+b+c+d=4.CMR:

$\frac{1}{\sqrt{1+a^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+c^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+d^{2}}}\geq 2\sqrt{2}$

 

4,Cho x>0,y>0 và x+y<1.CMR:

$\frac{x^{2}}{1-x}+\frac{y^{2}}{1-y}+\frac{1}{x+y}+x+y\geq \frac{5}{2}$

 

5,Cho x,y,z>0 và $xy\sqrt{xy}+yz\sqrt{yz}+zx\sqrt{zx}=1$.CMR:

$\frac{x^{6}}{x^{3}+y^{3}}+\frac{y^{6}}{y^{3}+z^{3}}+\frac{z^{6}}{z^{3}+x^{3}}\geq \frac{1}{2}$

 

6,Cho x,y,z>0 và $x^{3}+y^{2}+z^{3}=1$.CMR:

$\frac{x}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y}{z^{2}+x^{2}}+\frac{z}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

 

7,Cho x,y>0 và x+y$\geq4$.CMR:

$\frac{3x^{2}+4}{4x}+\frac{2+y^{3}}{y^{2}}\geq \frac{9}{2 }$

 

8,Cho x,y,z>0 và xyz=1. CMR:

$\frac{x^{3}}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^{3}}{(1+z)(1+x)}+\frac{z^{3}}{(1+x)(1+y)}\geq \frac{3}{4}$

 

9,Cho x,y,z>0 và xyz=1. CMR

$\frac{x^3}{1+y}+\frac{y^3}{1+z}+\frac{z^3}{1+x}\geq \frac{3}{2 }$  

 

10,Cho x,y,z>0 và x+y+z=1.CMR:

$x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}\leq \frac{4}{3}$

[binh barcelona]

cho 1<= a,b,c <=2 .CMR

(a²+b²)/ab + (b²+c²)/bc + (c²+a²)/ca <=7

(trích đề thi tuyển sinh lớp 10 Hà Tĩnh 2010-2011)

[binh barcelona]

cho 3 số thực a,b,c đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:

a²/(b-c)² + b²/(c-a)² + c²/(a-b)² =>2

[buingoctu]

cho 1<= a,b,c <=2 .CMR

(a²+b²)/ab + (b²+c²)/bc + (c²+a²)/ca <=7

(trích đề thi tuyển sinh lớp 10 Hà Tĩnh 2010-2011)

https://diendantoanh...7/?fromsearch=1