Chủ đề này có 299 trả lời

[Nguyenphuctang]

bạn có dùng phần mềm tính toán ko vậy 

Hello em! Nếu em thắc mắc thì xin vui lòng vào nhắn tin riêng với bạn ấy hạn chế đăng lên đây làm loãng topic. Mình thấy câu hỏi của bạn chẳng liên quan gì đến vấn đề đang bàn luận ở đây.

Lời giải bài 33:

Không mất tính tổng quát giả sử $c=max\left \{a,b,c  \right \}$ Ta chứng minh bổ đề:

$$ \frac{a^{2}}{a+3} +\frac{b^{2}}{b+3} +\frac{ab}{4} \geq \frac{(a+b)^{2}}{a+b+6} +\frac{(a+b)^{2}}{16} $$

Bổ đề trên khá chặt và hiển nhiên đúng. 

Chứng minh: Bổ đề trên tương đương với:

$$\Leftrightarrow \frac{9(a-b)^{2}}{(a+3)(b+3)(a+b+6)} \geq  \frac{(a-b)^{2}}{16} $$

Bất đẳng thức cuối đúng vì: 

$$ (a+3)(b+3)(a+b+6) \leq \frac{(a+b+6)^{3}}{4} \leq 128 <144 $$

Quay lại bài toán ta cần chứng minh:

$$ \frac{(3-c)^{2}}{9-c} +\frac{(3-c)^{2}}{16} +\frac{c^{2}}{c+3} + \frac{c(3-c)}{4} \geq \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{3(c-1)^{2}(c-3)^{2}}{16(9-c)(3+c)} \geq 0 $$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$ hoặc $a=3; b=c=0 $ $\square$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenphuctang: 01-05-2017 - 18:40

[TrBaoChis]

 

    Bài 3*/(sưu tầm)

Cho các số thực a, b, c thoả mãn 0≤a,b,c≤1 và a+b+c≥2 Chứng minh rằng:

ab(a+1)+bc(b+1)+ca(c+1)≥2

 

    Bài 3*/(sưu tầm/do mình quên,đây là một bài trong đề thi chuyên của tỉnh nào đó trong mấy năm gần đây)  

Cho các số thực a, b, c thoả : 0≤a≤b≤c≤1.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q=a²(b−c)+b²(c−b)+c²(1−c)

 

    Bài 3*(đề thi vào chuyên Toán chuyên Phan Bội Châu) 

 Cho các số thực a, b, c thoả mãn a,b≥0 ; c≥1 ; a+b+c=2.

 Tìm giá trị nhỏ nhất của P = (6-a²-b²-c²) (2-abc)

 

câu 1 là đề NA năm ngoái nha bạn 

0 $\leq$ a,b $\leq$ 1 $\Rightarrow$ $\sum$ a(a-1)(b-1) $\geq$ 0 

$\Rightarrow$ $\sum$ $a^2b$ + $\sum$ $a$ $\geq$ $\sum$  $a^2$ + $\sum$ $ab$   

$\rightarrow$ $P$ $\geq$ $(a+b+c)^2$ -$(a+b+c)$ $=$ $(a+b+c)(a+b+c-1)$ $\geq $ 2   

[tuaneee111]

a

 

Hello em! Nếu em thắc mắc thì xin vui lòng vào nhắn tin riêng với bạn ấy hạn chế đăng lên đây làm loãng topic. Mình thấy câu hỏi của bạn chẳng liên quan gì đến vấn đề đang bàn luận ở đây.

Lời giải bài 33:

Không mất tính tổng quát giả sử $c=max\left \{a,b,c  \right \}$ Ta chứng minh bổ đề:

$$ \frac{a^{2}}{a+3} +\frac{b^{2}}{b+3} +\frac{ab}{4} \geq \frac{(a+b)^{2}}{a+b+6} +\frac{(a+b)^{2}}{16} $$

Bổ đề trên khá chặt và hiển nhiên đúng. 

Chứng minh: Bổ đề trên tương đương với:

$$\Leftrightarrow \frac{9(a-b)^{2}}{(a+3)(b+3)(a+b+6)} \geq  \frac{(a-b)^{2}}{16} $$

Bất đẳng thức cuối đúng vì: 

$$ (a+3)(b+3)(a+b+6) \leq \frac{(a+b+6)^{3}}{4} \leq 128 <144 $$

Quay lại bài toán ta cần chứng minh:

$$ \frac{(3-c)^{2}}{9-c} +\frac{(3-c)^{2}}{16} +\frac{c^{2}}{c+3} + \frac{c(3-c)}{4} \geq \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{3(c-1)^{2}(c-3)^{2}}{16(9-c)(3+c)} \geq 0 $$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$ hoặc $a=3; b=c=0 $ $\square$ 

anh ơi làm sao tìm đc cái bổ đề kia vậy!

[TrBaoChis]

a

 

anh ơi làm sao tìm đc cái bổ đề kia vậy!

hình như cái này là kinh nghiệm cho đi lấy lại gì đó của thầy khanh sy :v

[Drago]

Bài Toán 34: [Sưu tầm]

Cho ba số thực a,b,c. Chứng minh rằng:

$(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\geq (ab+bc+ca-1)^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 02-05-2017 - 09:45

[Nguyenphuctang]

a

 

anh ơi làm sao tìm đc cái bổ đề kia vậy!

Tùy vào kinh nghiệm mỗi người khi giải thôi bạn. Nói thẳng tuy mình sở hữu đầy đủ bộ tài liệu về phần này của Sỹ ca nhưng mình thấy cái này có phần may mắn và chẳng có cái chuẩn nào cho việc đánh giá. Miễn sao là dồn biến được.  Còn nhiều lời giải khác nếu bạn quan tâm có thể kiếm trên k2pi (Hồi đó có đăng)

hình như cái này là kinh nghiệm cho đi lấy lại gì đó của thầy khanh sy :v

 

Anh Sỹ không phải giáo viên em nhé, anh Sỹ là kiến trúc sư. 

Nhưng box này là THCS nên mình sẽ đăng những bài nhẹ nhàng hơn xíu.

Bài 35: (Tăng) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng: $$\frac{1}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}+\frac{1}{ab+bc+ca}\ge \frac{6}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}$$

Nhắc nhở luôn bạn  Drago : Hãy ghi nguồn của bài toán!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenphuctang: 01-05-2017 - 19:03

[Hoang Dinh Nhat]

$\boxed{\textbf{Bài Toán 34}}$

 

BĐT Cần chứng minh $\Leftrightarrow (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)-(ab+bc+ca-1)^2\geq 0$

$\Leftrightarrow a^2b^2c^2-2a^2bc+a^2-2ab^2c-2abc^2+2ab+2ac+b^2+2bc+c^2\geq 0\Leftrightarrow (abc-a-b-c)^2\geq 0$

BĐT cuối đúng nên BĐT được chứng minh

[Hoang Dinh Nhat]

Bài 36: ​(sưu tầm)

 

 

 

Hình gửi kèm

• 

[sharker]

Bài 36: ​(sưu tầm)

 

${a^5} + {b^5} \ge {a^2}{b^2}(a + b)$

 $\to \sum {\frac{{ab}}{{{a^5} + {b^5} + ab}} \le } \sum {\frac{{ab}}{{{a^2}{b^2}(a + b) + ab}} = \sum {\frac{1}{{ab(a + b) + 1}}}  = \sum {\frac{{abc}}{{ab(a + b) + abc}}} = \sum {\frac{c}{{a + b + c}}} }  = 1$

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sharker: 01-05-2017 - 20:10

[sharker]

Bài 37

Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác

CMR 

$({a^2} + {b^2} + {c^2})\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right) \ge 10$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sharker: 01-05-2017 - 20:38

[viet9a14124869]

 

Bài 37

Cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác

CMR 

$({a^2} + {b^2} + {c^2})\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right) \ge 10$

 

Chắc hẳn còn có điều kiện gì khác ,,bởi ta thấy ngay bài toán sai tại a=b=c

[AnhTran2911]

Tùy vào kinh nghiệm mỗi người khi giải thôi bạn. Nói thẳng tuy mình sở hữu đầy đủ bộ tài liệu về phần này của Sỹ ca nhưng mình thấy cái này có phần may mắn và chẳng có cái chuẩn nào cho việc đánh giá. Miễn sao là dồn biến được.  Còn nhiều lời giải khác nếu bạn quan tâm có thể kiếm trên k2pi (Hồi đó có đăng)

Anh Sỹ không phải giáo viên em nhé, anh Sỹ là kiến trúc sư. 

Nhưng box này là THCS nên mình sẽ đăng những bài nhẹ nhàng hơn xíu.

Bài 35: (Tăng) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng: $$\frac{1}{a^{3}+b^{3}+c^{3}}+\frac{1}{ab+bc+ca}\ge \frac{6}{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}$$

Nhắc nhở luôn bạn  Drago : Hãy ghi nguồn của bài toán!

Tăng ơi. Hình như cái ni mi đăng lên fb rồi mà.

SD cái bổ đề $(a^2+b^2+c^2)^2\geq9(a^3+b^3+c^3)$ Với giả thiết $abc=1$ ( $a,b,c\ge0$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnhTran2911: 01-05-2017 - 21:44

[AnhTran2911]

Chắc hẳn còn có điều kiện gì khác ,,bởi ta thấy ngay bài toán sai tại a=b=c

Vâng. đúng là phải thêm đk tam giác đã cho tù. Bài này mình nhớ bạn Nhoang1608 làm 1 lần rồi thì phải.

P/s: Cho mình hỏi có ai làm đc bài số 31 của mình chưa ạ ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnhTran2911: 01-05-2017 - 21:35

[Drago]

$\boxed{\textbf{Bài Toán 38}}$[Sưu tầm]

 

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn $x+y+z=xyz$. Chứng minh rằng:

$$\frac{2}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\leq \frac{9}{4}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 02-05-2017 - 08:09

[Nguyenhuyen_AG]

Bài 33: (Khánh Sỹ)

Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$$ \sum_{cyc} \frac{a^{2}}{a+3} + \frac{ab+bc+ca}{4} \geq \frac{3}{2} $$

 

Ta có

\[\sum \frac{a^{2}}{a+3} + \frac{ab+bc+ca}{4} - \frac{3}{2} = \frac{1}{12(a+3)(b+3)(c+3)} \sum a(3a^2+bc)(b-c)^2 \geqslant 0.\]

 

$\boxed{\textbf{ BÀI TOÁN 31 }}$ 

Cho $ a,b,c\ge 0$ . Chứng Minh Rằng:

$3(a^2+b^2+c^2)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\geq(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)$

 

Và

\[\text{Vế trái  - Vế phải} = \frac14\sum \left[(a+b-c)^2+5a^2+5b^2+c^2\right]c^2(a-b)^2 \geqslant 0.\]

[Mr Cooper]

$\boxed{\textbf{Bài Toán 39}}$ Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=5$. Chứng minh rằng:

\[|(a^2-b^2)(b^2-c^2)(c^2-a^2) \le \sqrt{5}\]

 

Anh Drago nên gõ đề ra để tránh die ảnh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr Cooper: 02-05-2017 - 07:46

[Chu Quang Huy]

 

câu 1 là đề NA năm ngoái nha bạn 

0 $\leq$ a,b $\leq$ 1 $\Rightarrow$ $\sum$ a(a-1)(b-1) $\geq$ 0 

$\Rightarrow$ $\sum$ $a^2b$ + $\sum$ $a$ $\geq$ $\sum$  $a^2$ + $\sum$ $ab$   

$\rightarrow$ $P$ $\geq$ $(a+b+c)^2$ -$(a+b+c)$ $=$ $(a+b+c)(a+b+c-1)$ $\geq $ 2   

 

Vậy bạn làm được câu cuối không??????

[TrBaoChis]

Vậy bạn làm được câu cuối không??????

câu trường Phan mình chưa làm thì đã đc xem giải rồi   

[Zz Isaac Newton Zz]

$\boxed{\textbf{Bài Toán 39}}$ Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=5$. Chứng minh rằng:

\[|(a^2-b^2)(b^2-c^2)(c^2-a^2) \le \sqrt{5}\]

 

Anh Drago nên gõ đề ra để tránh die ảnh

Hình như giả thiết bài này phải là $a+b+c=\sqrt{5}$ chứ ạ...

Đặt $P=\begin{vmatrix} (a^{2}-b^{2})(b^{2}-c^{2})(c^{2}-a^{2}) \end{vmatrix}$

Giả sử $c=min{a, b, c}$ ta chỉ cần xét $b\geq a.$ Đặt $\left\{\begin{matrix} x=\sqrt{a^{2}-c^{2}} & & \\ y=\sqrt{b^{2}-c^{2}} & & \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=\sqrt{x^{2}+c^{2}} & & \\ b=\sqrt{y^{2}+c^{2}} & & \end{matrix}\right.$ 

Khi đó: $a+b+c=\sqrt{5}=\sqrt{x^{2}+c^{2}}+\sqrt{y^{2}+c^{2}}+c\geq x+y.$

Và $P\leq x^{2}y^{2}(y^{2}-x^{2}).$

Mà $4xy+(x-y)^{2}=(x+y)^{2}.$ Từ đó áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có:

$P^{2}\leq (x+y)^{2}.xy.xy.xy.xy.(x-y)^{2}\leq (x+y)^{2}.\left [ \frac{4xy+(x-y)^{2}}{5} \right ]^{5}=\frac{(x+y)^{12}}{3125}\leq 5.$ Từ đây ta có $P\leq \sqrt{5}.$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $(a, b, c)=(\frac{\sqrt{5}-1}{2}, \frac{\sqrt{5}+1}{2}, 0).$ Kết thúc chứng minh.

[NHoang1608]

$\boxed{\textbf{Bài Toán 38}}$[Sưu tầm]

 

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thoả mãn $x+y+z=xyz$. Chứng minh rằng:

$$\frac{2}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\leq \frac{9}{4}$$

Từ giả thiết ta có $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1$

Đặt $(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z})=(a;b;c) \Rightarrow ab+bc+ca=1$

Bài toán quy về chứng minh

                      $P=\frac{2a}{\sqrt{a^{2}+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^{2}+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^{2}+1}} \leq \frac{9}{4}$

                      $\Leftrightarrow P= \frac{2a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{c}{\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq \frac{9}{4}$

Ta có $P= \frac{2a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{2b}{\sqrt{4(b+c)(b+a)}}+\frac{2c}{\sqrt{4(c+b)(c+a)}}$

                    $\leq_{AM-GM} (\frac{a}{a+b}+\frac{a}{c+a})+(\frac{b}{4(b+c)}+\frac{b}{a+b})+(\frac{c}{4(c+b)}+\frac{c}{c+a})= \frac{9}{4}$

Suy ra đpcm. Dấu bằng xảy ra khi $y=z=\frac{\sqrt{15}}{7},x=\sqrt{15}$. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 02-05-2017 - 11:47