Chủ đề này có 2 trả lời

[Katyusha]

Cho $|z_1|=|z_2|=|z_3|=1$ và $z_1+z_2+z_3=0$. Tính $z_1^2+z_2^2+z_3^2$

 

A. 1

 

B. 0

 

C. $1+i$

 

D. $-1$

[chanhquocnghiem]

Cho $|z_1|=|z_2|=|z_3|=1$ và $z_1+z_2+z_3=0$. Tính $z_1^2+z_2^2+z_3^2$

 

A. 1

 

B. 0

 

C. $1+i$

 

D. $-1$

Đặt $z_1=\cos\varphi _1+i\sin\varphi _1$

      $z_2=\cos\varphi _2+i\sin\varphi _2$

      $z_3=\cos\varphi _3+i\sin\varphi _3$

  ($\varphi _1,\varphi _2,\varphi _3\in \left [ 0;2\pi \right )$)

Ta có :

$\left\{\begin{matrix}\sin\varphi _1+\sin\varphi _2+\sin\varphi _3=0\\\cos\varphi _1+\cos\varphi _2+\cos\varphi _3=0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2\sin\frac{\varphi _1+\varphi _2}{2}\cos\frac{\varphi _1-\varphi _2}{2}=-\sin\varphi _3\\2\cos\frac{\varphi _1+\varphi _2}{2}\cos\frac{\varphi _1-\varphi _2}{2}=-\cos\varphi _3 \end{matrix}\right.$

Dễ thấy $\cos\frac{\varphi _1-\varphi _2}{2}\neq 0$ (vì nếu $\cos\frac{\varphi _1-\varphi _2}{2}=0\Rightarrow \sin\varphi _3=\cos\varphi _3=0$, vô lý)

Từ 2 phương trình suy ra $\tan\frac{\varphi _1+\varphi _2}{2}=\tan\varphi _3$ (*)

(*) $\Rightarrow \left | \cos\frac{\varphi _1+\varphi _2}{2} \right |=\left | \cos\varphi _3 \right |\Rightarrow \left | \cos\frac{\varphi _1-\varphi _2}{2} \right |=\frac{1}{2}\Rightarrow \cos(\varphi _1-\varphi _2)=2.\left ( \frac{1}{2} \right )^2-1=-\frac{1}{2}$

(*) $\Rightarrow \frac{\varphi _1+\varphi _2}{2}=\varphi _3$ hoặc $\frac{\varphi _1+\varphi _2}{2}=\varphi _3\pm \pi$

$\Rightarrow \varphi _1+\varphi _2=2\varphi _3$ hoặc $\varphi _1+\varphi _2=2\varphi _3\pm 2\pi\Rightarrow \sin(\varphi _1+\varphi _2)=\sin2\varphi _3$ ; $\cos(\varphi _1+\varphi _2)=\cos2\varphi _3$

 

Ta có $z_1^2=(\cos\varphi _1+i\sin\varphi _1)^2=(\cos^2\varphi _1-\sin^2\varphi _1)+i(2\cos\varphi _1\sin\varphi _1)=\cos 2\varphi _1+i\sin 2\varphi _1$

Tương tự $z_2^2=\cos 2\varphi _2+i\sin 2\varphi _2$ ; $z_3^2=\cos 2\varphi _3+i\sin 2\varphi _3$

$Z_1^2+z_2^2+z_3^2=(\cos 2\varphi _1+\cos 2\varphi _2+\cos 2\varphi _3)+i(\sin 2\varphi _1+\sin 2\varphi _2+\sin 2\varphi _3)$

Mà :

$\cos 2\varphi _1+\cos 2\varphi _2+\cos 2\varphi _3=2\cos(\varphi _1+\varphi _2)\cos(\varphi _1-\varphi _2)+\cos 2\varphi _3=-\cos(\varphi _1+\varphi _2)+\cos 2\varphi _3=0$

$\sin 2\varphi _1+\sin 2\varphi _2+\sin 2\varphi _3=2\sin(\varphi _1+\varphi _2)\cos(\varphi _1-\varphi _2)+\sin 2\varphi _3=-\sin(\varphi _1+\varphi _2)+\sin 2\varphi _3=0$

Do đó $z_1^2+z_2^2+z_3^2=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 20-04-2017 - 10:31

[thoai6cthcstqp]

Cho $|z_1|=|z_2|=|z_3|=1$ và $z_1+z_2+z_3=0$. Tính $z_1^2+z_2^2+z_3^2$

 

A. 1

 

B. 0

 

C. $1+i$

 

D. $-1$

 

Hình gửi kèm

•