Chủ đề này có 6 trả lời

[I Love MC]

Đề hơi mờ ,mong mọi người thông cảm 

[dat9adst20152016]

                                                                    KÌ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN

                                                                         KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ

                                                                                                LẦN THỨ X, NĂM 2017

                                                                                                                                            

                                                                                             ĐỀ THI MÔN: TOÁN HỌC

                                                                                                        LỚP: 10     

 

 

Bài 1: Giải phương trình $x^{2}+2\sqrt{2x+7}=2\sqrt{3-2x}+5 (x\in R)$

 

Bài 2: Cho tam giác ABC (AB<AC) nhọn, không cân nội tiếp (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm BC. Đường tròn (J) ngoại tiếp tam giác AEF cắt (O) tại điểm thứ hai là K (K$\neq$A). Đường thẳng AM cắt (J) tại điểm thứ hai là Q (Q$\neq$A). EF cắt AD tại P. Đoạn PM cắt (J) tại N.

  a) CM các đường KF, EQ, BC đồng quy hoặc song song và K, P, Q thẳng hàng.

  b) CM đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tam giác BNC.

 

Bài 3: Tìm tất cả bộ 3 số nguyên (a,b,c) sao cho $\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{2}+2$ là lũy thừa của 2016²⁰¹⁷

 

Bài 4: Cho a,b,c dương thỏa $\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c}=2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})$

        CM a²+b²+c²+3$\geq$2(ab+bc+ca)

 

Bài 5: Cho 1 bảng ô vuông kích thước 10x10, trên đó đã điền các số nguyên dương từ 1 đến 100 vào các ô vuông con theo trình tự như hình a. Ở mỗi bước biến đổi người ta chọn tùy ý 3 ô vuông con liên tiếp theo hàng hoặc cột hoặc đường chéo của hình vuông 3x3 (hình b) rồi thưc hiện: Hoặc là giảm số ô nằm giữa đi 2 đơn vị đồng thời tăng số ở 2 ô liền kề lên 1 đơn vị, hoặc là tăng số ô nằm giữa lên 2 đơn vị đồng thời giảm số ở 2 ô liền kề đi 1 đơn vị. Giả sử sau hữu hạn lần biến đổi, tập hợp tất cả các số ghi trên bảng ô vuông vẫn là tập {1;2;3;....;100). CMR khi đó các số ghi trên bẳn theo đúng vị trí như trước khi biến đổi.    

[viet9a14124869]

Câu 4 bất đẳng thức : 

Ta dùng một bổ đề $a^2b+b^2a+b^2c+c^2b+c^2a+ca^2\geq \frac{2}{3}(a+b+c)(ab+bc+ca)$  ( Các bạn có thể chứng minh bằng cách dùng AM-GM ) 

Theo đề ra ,$\sum \frac{a+b}{c}=2\sum \frac{1}{ab}\Leftrightarrow 2(a+b+c)=a^2b+b^2a+b^2c+c^2b+a^2c+c^2a\geq \frac{2}{3}(a+b+c)(ab+bc+ca)\Rightarrow 3\geq ab+bc+ca\Rightarrow a^2+b^2+c^2+3\geq a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\geq 2(ab+bc+ca)$    

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet9a14124869: 19-04-2017 - 13:16

[cristianoronaldo]

Bài 3 là câu 3 trong đề thi JBMO 2016.

 

https://diendantoanh...1109-jbmo-2016/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 21-04-2017 - 17:23

[Drago]

Câu 3:

Gọi $a,b,c$ là các số thực và $n$ là số thực dương thoả mãn: $(a-b)(b-c)(c-a)+4=2.2016^n$

Ta đặt $a-b=-x,b-c=-y$ ta viết lại bài toán như sau $xy(x+y)+4=2.2016^n (1)$

Vì $n>0$ nên vế phải $(1)$ chia hết cho 7 nên $xy(x+y)+4\equiv 0(mod 7)(2)$

hay $3xy(x+y)\equiv 2(mod 7) (3) $

hay $(x+y)^3-x^3-y^3 \equiv 2 (mod 7) (4)$

Khi đó theo định lí Fermat nhỏ cho bất kỳ số thực $k$ thì $k^3 \equiv -1,0,1 (mod 7) (5)$

Dẫn tới ở $(4)$ một trong 3 số $(x+y)^3,x^3,y^3$ sẽ chia hết cho 7 nhưng do $(2)$ nên mâu thuẫn.

Vì vậy, khả năng duy nhất có thể xảy ra là $n=0$ và do đó dẫn tới $xy(x+y)+4=2$ hay $xy(x+y)=-2$

Tập nghiệm nguyên của phương trình này là $ (x,y) \in {(-1,-1,(2,-1),(-1,2)}$ 

hay $(a,b,c)=(k+2,k+1,k), k\in \mathbb{Z}$ và các hoán vị.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 24-06-2017 - 10:05

[nguyenduy287]

bài 1: điều kiện $\frac{-7}{2}\leq x\leq \frac{3}{2}$

pt tương đương: 

$x^2-9+2\sqrt{2x+7}-2-2\sqrt{3-2x}+6=0<=>(x-3)(x+3)+2.\frac{2x+6}{\sqrt{2x+7}+1}-2.\frac{-6-2x}{\sqrt{3-2x}+3}=0<=>(x+3)(x-3+\frac{4}{\sqrt{2x+7}+1}+\frac{4}{\sqrt{3-2x}+3})=0$ ra 1 nghiệm

xét cái trong ngoặc tương đương

$x-1+\frac{3-\sqrt{2x+7}}{\sqrt{2x+7}+1}+\frac{1-\sqrt{3-2x}}{\sqrt{3-2x}+3}=0<=>x-1+\frac{2-2x}{(\sqrt{2x+7}+2)^2-1}+\frac{2x-2}{(\sqrt{3-2x}+2)^2-1}=0$ thêm 1 em nghiệm nữa

xét cái nùi còn lại:

$1-\frac{2}{(\sqrt{2x+7}+2)^2-1}+\frac{1}{(\sqrt{3-2x}+2)^2-1}=0$

theo điều kiện đầu bài 

thì $VT\geq 1-\frac{2}{3}+\frac{1}{(\sqrt{10}+2)^2-1}>0(x\geq \frac{-7}{2})$

nên pt ban đầu có 2 nghiệm $\begin{bmatrix}x=1 \\ x=-3 \end{bmatrix}$

[NHN]

2a)ta có bài toán quen thuộc $AK,EF,HQ,BC$ đồng qui tại $X$ vậy $KF,EQ,BC$ đồng qui theo Pascal. Ngoài ra ta cũng suy ra là $P$ là cực của $X$ ứng với $(AEF)$ mà $AH$ vuông $BC$ nên $P$ là cực của $MX$ vậy $P$ là cực của $M$ mà $M,H,K$ thẳng vậy $K,P,Q$ thẳng

b)tương dương với việc chứng minh t$XN$ tiếp xúc $(AEF)$ nhưng điều này đúng do $EF$ là cực của $M$ và $-1=(XP,EF)$