Chủ đề này có 5 trả lời

[phamquangnhatanh]

Cho a, b, c là 3 số không không âm thoả mãn a + b + c = 1

Chứng minh rằng $ab+bc+ca\leq \frac{2}{7}+\frac{9abc}{7}$

[81NMT23]

BĐT cần chứng minh tương đương với:

$7(ab+bc+ca)\leqslant 2+9abc \Leftrightarrow 3(ab+bc+ca)\leqslant 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+9abc$

Có: $ab+bc+ca \leqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Theo BĐT Schur ta có:$a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geqslant ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$

$\Leftrightarrow (a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+b+c)+ 9abc \geqslant 2(ab+bc+ca)(a+b+c)$

$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+9abc\geqslant 2(ab+bc+ca)$

suy ra đpcm. Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$

[hourglass]

$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc} \rightarrow 1\geq 27abc\rightarrow \frac{1}{27}\geq abc\rightarrow \frac{1}{3}\geq 9abc \rightarrow 2+9abc\geq 2(a+b+c)^{2}+\frac{1}{3}=2(a+b+c)^{2}+\frac{(a+b+c)^{2}}{3}=\frac{7 (a+b+c)^{2}}{3}\geq \frac{7.3.(ab+bc+ac)}{3}=7(ab+ac+bc) \rightarrow 2+9abc\geq 7(ab+bc+ac)\rightarrow \frac{2}{7}+\frac{9abc}{7}\geq ab+bc+ac \rightarrow dpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hourglass: 18-04-2017 - 22:00

[nguyenducanh2002]

$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc} \rightarrow 1\geq 27abc\rightarrow \frac{1}{27}\geq abc\rightarrow \frac{1}{3}\geq 9abc \rightarrow 2+9abc\geq 2(a+b+c)^{2}+\frac{1}{3}=2(a+b+c)^{2}+\frac{(a+b+c)^{2}}{3}=\frac{7 (a+b+c)^{2}}{3}\geq \frac{7.3.(ab+bc+ac)}{3}=7(ab+ac+bc) \rightarrow 2+9abc\geq 7(ab+bc+ac)\rightarrow \frac{2}{7}+\frac{9abc}{7}\geq ab+bc+ac \rightarrow dpcm$

đoạn đầu hình như bị ngược dấu b ạ

[tuaneee111]

Đổi biến về pqr ta cần chứng minh:

\[f\left( q \right) = \frac{{9r}}{7} + \frac{2}{7} - q \ge 0\]

Nếu \[q \le \frac{1}{4} \Rightarrow dpcm\]

Nếu \[q \in \left[ {\frac{1}{4};\frac{1}{3}} \right]\]

Thì theo Schur ta có:

\[f\left( q \right) \ge \frac{{4q - 1}}{7} + \frac{2}{7} - q = \frac{{1 - 3q}}{7} \ge 0\]

Do đó có đpcm

[hourglass]

đoạn đầu hình như bị ngược dấu b ạ

xin lỗi, có lẽ t đã lm nhầm r