KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN
KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
LẦN THỨ X, NĂM 2017
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
LỚP: 11
Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 15/04/2017
Bài 1:(4 điểm) Cho số thực a và dãy số $(x_{n})_{n\geq 0}$ với x0=$a$ và $x_{n+1}= \frac{x_{n}^{2}}{2-x_{n}^{2}}$ với mọi số tự nhiên n.
a) Khi a=$\frac{1}{2}$. Chứng minh rằng dãy số $(x_{n})$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
b) Khi a$\in \begin{bmatrix} 0;1 \end{bmatrix}$. Chứng minh rằng dãy số $(x_{n})$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 2:(4 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, AB<AC, đường cao AH và trực tâm là điểm K. Đường thẳng BK cắt đường tròn đường kính AC tại D,E (BD<BE). Đường thẳng CK cắt đường tròn đường kính AB tại F,G (CF<CG). Đường tròn ngoại tiếp tam giác DHF cắt BC tại điểm P (P$\neq$H).
a) Chứng minh rằng các điểm G,H,P,E cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh rằng các đường thẳng BF,CD,PK đồng quy tại một điểm.
Bài 3: (4 điểm) Tìm tất cả các hàm số $f : \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa điều kiện sau:
$f\left ( x - f\left ( y \right ) \right )=f\left ( f\left ( x \right ) \right )-f\left ( y \right )-1$ với mọi $x$, $y\in \mathbb{Z}$.
Bài 4: (4 điểm) Các số a,b,c nguyên, $c$ $\geq 0$ và thỏa điều kiện $a^{n}+2^{n}$ là ước của $b^{n}+c$ với mọi số nguyên dương n.
a) Chứng minh rằng c=0 hoặc c=1.
b) Khi c=1. Chứng minh rằng a và b không đồng thời là các số chính phương.
Bài 5: (4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho bát giác lồi A1A2...A8 thỏa mãn: Có tất cả các góc bằng nhau, các đỉnh là điểm nguyên, A1A2 song song với trục Ox, trên biên của bát giác có đúng 16 điểm nguyên kể cả đỉnh. Gọi n1, n2,...,n8 lần lượt là số điểm nguyên nằm bên trong các cạnh A1A2, A2A3, ...,A8A1 (khác hai điểm biên).
a) Tính diện tích của bát giác theo Gọi n1, n2,...,n8.
b) Tìm diện tích lớn nhất của bát giác A1A2...A8.
------HẾT-------
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SUPERMAN2000: 21-04-2017 - 11:49
. Đọc lời giải chính thức chẳng khác gì hết 
