Chủ đề này có 2 trả lời

[Sketchpad3356]

Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn đẳng thức: $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=2$. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{1+\frac{b}{a}}+\frac{b}{1+\frac{c}{b}}+\frac{c}{1+\frac{a}{c}}\geq 1$

[Hoang Dinh Nhat]

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

$\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{c+a}{4}\geq 2\sqrt{\frac{a^2}{a+b}.\frac{a+b}{4}}+2\sqrt{\frac{b^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}+2\sqrt{\frac{c^2}{c+a}.\frac{c+a}{4}}$

$\Rightarrow \frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\geq \frac{a+b+c}{2}$ $(1)$

Và $\frac{a+b+c}{2}=\frac{1}{2}(\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2})\geq \frac{1}{2}(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$

Vì $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=2$

Nên $\frac{a+b+c}{2}\geq 1$ $(2)$

Từ (1) và (2) có: $\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\geq 1$

Vậy $\frac{a}{1+\frac{b}{a}}+\frac{b}{1+\frac{c}{b}}+\frac{c}{1+\frac{a}{c}}\geq 1$

[tuaneee111]

Á dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz  ta được:

\[\sum\limits_{cyc} {\frac{a}{{1 + \frac{b}{a}}} = \sum\limits_{cyc} {\frac{{{a^2}}}{{a + b}}}  \ge \frac{{a + b + c}}{2}}  \ge \frac{{\sum\limits_{cyc} {\sqrt {ab} } }}{2} = 1\]

Vậy có đpcm