Chủ đề này có 1 trả lời

[Sketchpad3356]

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}\frac{4}{\sqrt{x}}+\sqrt{10-\frac{4}{y}}=5 & & \\ \frac{4}{\sqrt{y}}+\sqrt{10-\frac{4}{x}}=5 & & \end{matrix}\right.$

 

[Hoang Dinh Nhat]

ĐKXĐ: $x\geq \frac{2}{5};y\geq \frac{2}{5}$

Đặt $\frac{1}{\sqrt{x}}=a;\frac{1}{\sqrt{y}}=b$

$(0<a,b<\sqrt{\frac{2}{5}})$

Hệ phương trình trở thành: $\left\{\begin{matrix}4a+\sqrt{10-4b^2}=5 & & \\ 4b+\sqrt{10-4a^2}=5 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\sqrt{10-4b^2}=5-4a & & \\ \sqrt{10-4a^2}=5-4b & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}10-4b^2=25-40a+16a^2 & & \\ 10-4a^2=25-40b+16b^2 & & \end{matrix}\right.$

Ta có: $-4b^2+4a^2=16a^2-16b^2-40a+40b$

$\Leftrightarrow 12a^2-12b^2-40a+40b=0$

$\Leftrightarrow 3a^2-3b^2-10a+10b=0$

$\Leftrightarrow 3(a^2-b^2)-10(a-b)=0$

$(a-b)[3(a+b)-10]=0$

$\Leftrightarrow (a-b)(3a+3b-10)=0$

$\Rightarrow a=b$ hoặc $3a+3b=10$

$*$ Xét a=b

Ta có: $10-4a^2=25+16a^2-40a$

$\Leftrightarrow 4a^2-8a+3=0$

$\Rightarrow a=\frac{3}{2}$ (loại) hoặc $a=\frac{1}{2}$ (nhận)

$a=b=\frac{1}{2}$ thì $x=y=4$ (thích hợp)

$*$ Trường hợp 3a+3b=10 (không xảy ra)

Vậy hệ có 1 nghiệm duy nhất (4;4)