Chủ đề này có 1 trả lời

[zzhanamjchjzz]

Tìm nguyên hàm của hàm $f(x)=\frac{1}{cos^5x}$

[caybutbixanh]

Tìm nguyên hàm của hàm $f(x)=\frac{1}{cos^5x}$

Lời Giải:

$I= \int \frac{\cos x}{(1-\sin^2 x)^3}dx= \int \frac {d(\sin x)}{(1-\sin^2 x)^3}dx = \int \frac{du}{(1-u^2)^3};\\$

$\int \frac{du}{(1-u^2)^3}=\frac{1}{8}.\int \frac{\left [ (1-u)+(1+u) \right ]^3}{(1-u)^3.(1+u)^3} du =\frac{1}{8}.\int(\frac{1}{(1+u)^3}+\frac{1}{(1-u)^3}+\frac{3}{(1-u).(1+u)^2}+\frac{3}{(1-u)^2.(1+u)}) du ;\\$

Lại Có :

$\int \frac{du}{(1+u)^3}=\frac{-1}{2(1+u)^2}+C ; \\$

$\int \frac{du}{(1-u)^3}=\frac{1}{2(1-u)^2} +C ;\\$

$\int \frac{3}{(1-u).(1+u)^2} du = \frac{3}{2} \int \frac{(1-u)+(1+u)}{(1-u).(1+u)^2}du =\frac{3}{2}.\int (\frac{1}{(u+1)^2}+\frac{1}{(1-u).(1+u)})du=\frac{3}{2}.(\frac{-1}{1+u}+\frac{1}{2}\ln \left | \frac{1+u}{1-u} \right |) +C ;\\$

$\int \frac{3}{(1-u)^2.(1+u)}du =\frac{3}{2}.(\frac{1}{1-u}+\frac{1}{2}.\ln \left | \frac{1+u}{1-u} \right |) +C  (TT); \\$

 

Vậy  $$I=\frac{1}{8}.(\frac{1}{2(1-u)^2}-\frac{1}{2(1+u)^2}+\frac{3}{2}.(\ln \left | \frac{1+u}{1-u} \right |+\frac{2u}{1-u^2}) +C; ( u=\sin x )$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caybutbixanh: 01-05-2017 - 20:32