Cho $x,y,z$ là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$S=\frac{\sqrt{x^2-xy+y^2}}{x+y+2z}+\frac{\sqrt{y^2-yz+z^2}}{y+z+2x}+\frac{\sqrt{z^2-zx+x^2}}{z+x+2y}$
Cho $x,y,z$ là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$S=\frac{\sqrt{x^2-xy+y^2}}{x+y+2z}+\frac{\sqrt{y^2-yz+z^2}}{y+z+2x}+\frac{\sqrt{z^2-zx+x^2}}{z+x+2y}$
Bài này bạn biến đổi 1 tý rồi đặt là ra bạn
Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc
Bạn có thể làm full ra được không bạn mình cảm ơn
Ta có: $\sqrt{x^2-xy+y^2}=\sqrt{\frac{1}{4}(x+y)^2+\frac{3}{4}(x-y)^2}$$\geq \sqrt{\frac{1}{4}(x+y)^2}=\frac{1}{2}(x+y)$
Do đó: $\frac{\sqrt{x^2-xy+y^2}}{x+y+2z}\geq \frac{x+y}{2(x+y+2z)}$
Chứng minh tương tự, ta có: $\frac{\sqrt{y^2-yz+z^2}}{y+z+2x}\geq \frac{y+z}{2(y+z+2x)}$
$\frac{\sqrt{z^2-zx+x^2}}{z+x+2y}\geq \frac{z+x}{2(z+x+2y)}$
Do đó: $S\geq \frac{1}{2}(\frac{x+y}{x+y+2z}+\frac{y+z}{y+z+2x}+\frac{z+x}{z+x+2y})$
Đặt $c=x+y+2z;b=z+x+2y;a=y+z+2x$
Suy ra: $z+y=\frac{b+c-a}{2};x+z=\frac{c+a-b}{2};x+y=\frac{a+b-c}{2}$
Do đó: $\frac{x+y}{x+y+2z}+\frac{y+z}{y+z+2x}+\frac{z+x}{z+x+2y}=\frac{a+b-c}{2c}+\frac{b+c-a}{2a}+\frac{c+a-b}{2b}$
$=\frac{1}{2}(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}-1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}-1+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}-1)$
$=\frac{1}{2}[(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})+(\frac{b}{a}+\frac{a}{b})-3]$
$\geq \frac{1}{2}(2+2+2-3)=\frac{3}{2}$
Vậy $S\geq \frac{1}{2}.\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$
Dấu ''='' xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c\Leftrightarrow x=y=z$
Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc
TKS
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh