Đến nội dung

Hình ảnh

Cho x,y,z là ba số thực dương

bất đẳng thức và cực trị

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Sketchpad3356

Sketchpad3356

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 34 Bài viết

Cho $x,y,z$ là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$S=\frac{\sqrt{x^2-xy+y^2}}{x+y+2z}+\frac{\sqrt{y^2-yz+z^2}}{y+z+2x}+\frac{\sqrt{z^2-zx+x^2}}{z+x+2y}$



#2
Hoang Dinh Nhat

Hoang Dinh Nhat

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết

Bài này bạn biến đổi 1 tý rồi đặt là ra bạn


Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc

 

 

 

 


#3
Sketchpad3356

Sketchpad3356

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 34 Bài viết

Bạn có thể làm full ra được không bạn mình cảm ơn



#4
Hoang Dinh Nhat

Hoang Dinh Nhat

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết

Ta có: $\sqrt{x^2-xy+y^2}=\sqrt{\frac{1}{4}(x+y)^2+\frac{3}{4}(x-y)^2}$$\geq \sqrt{\frac{1}{4}(x+y)^2}=\frac{1}{2}(x+y)$

Do đó: $\frac{\sqrt{x^2-xy+y^2}}{x+y+2z}\geq \frac{x+y}{2(x+y+2z)}$

Chứng minh tương tự, ta có: $\frac{\sqrt{y^2-yz+z^2}}{y+z+2x}\geq \frac{y+z}{2(y+z+2x)}$

$\frac{\sqrt{z^2-zx+x^2}}{z+x+2y}\geq \frac{z+x}{2(z+x+2y)}$

Do đó: $S\geq \frac{1}{2}(\frac{x+y}{x+y+2z}+\frac{y+z}{y+z+2x}+\frac{z+x}{z+x+2y})$

Đặt $c=x+y+2z;b=z+x+2y;a=y+z+2x$

Suy ra: $z+y=\frac{b+c-a}{2};x+z=\frac{c+a-b}{2};x+y=\frac{a+b-c}{2}$

Do đó: $\frac{x+y}{x+y+2z}+\frac{y+z}{y+z+2x}+\frac{z+x}{z+x+2y}=\frac{a+b-c}{2c}+\frac{b+c-a}{2a}+\frac{c+a-b}{2b}$

$=\frac{1}{2}(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}-1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}-1+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}-1)$

$=\frac{1}{2}[(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})+(\frac{b}{a}+\frac{a}{b})-3]$

$\geq \frac{1}{2}(2+2+2-3)=\frac{3}{2}$

Vậy $S\geq \frac{1}{2}.\frac{3}{2}=\frac{3}{4}$

Dấu ''='' xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c\Leftrightarrow x=y=z$


Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc

 

 

 

 


#5
Sketchpad3356

Sketchpad3356

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 34 Bài viết

TKS







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực trị

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh