Đến nội dung

Hình ảnh

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện $a+b+c=1$

bất đẳng thức và cực trị

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Mathchip741

Mathchip741

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện $a+b+c=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$F=14(a^2+b^2+c^2)+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}$



#2
Hoang Dinh Nhat

Hoang Dinh Nhat

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết

Ta có: $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$. Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:

$a^2+b^2+c^2=(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)=a^3+a^2b+a^2c+ab^2+b^3+b^2c+c^2a+bc^2+c^3$

$=(a^3+ab^2)+(b^3+bc^2)+(c^3+a^2c)+(a^2b+b^2c+c^2a)\geq 2a^2b+2b^2c+2c^2a+(a^2b+b^2c+c^2a)=3(a^2b+b^2c+c^2a)$

Và $3(a^2+b^2+c^2)=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2+(a+b+c)^2\geq (a+b+c)^2=1$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq \frac{1}{3}$. Đặt $x=a^2+b^2+c^2(x>0)$

Ta có: 

$F=14(a^2+b^2+c^2)+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}\geq 14(a^2+b^2+c^2)+\frac{3(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}$

$=14x+\frac{3(1-x)}{2x}=14x+\frac{3}{2x}-\frac{3}{2}=\frac{1}{6}+9-\frac{3}{2}=\frac{23}{3}$

Dấu ''='' xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$ và $x=\frac{1}{3}$$\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

Vậy GTNN của biểu thức F là $\frac{23}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 22-04-2017 - 13:47

Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc

 

 

 

 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực trị

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh