Cho $a,b,c$ là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện $a+b+c=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$F=14(a^2+b^2+c^2)+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}$
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện $a+b+c=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$F=14(a^2+b^2+c^2)+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}$
Ta có: $a,b,c>0$ và $a+b+c=1$. Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:
$a^2+b^2+c^2=(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)=a^3+a^2b+a^2c+ab^2+b^3+b^2c+c^2a+bc^2+c^3$
$=(a^3+ab^2)+(b^3+bc^2)+(c^3+a^2c)+(a^2b+b^2c+c^2a)\geq 2a^2b+2b^2c+2c^2a+(a^2b+b^2c+c^2a)=3(a^2b+b^2c+c^2a)$
Và $3(a^2+b^2+c^2)=(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2+(a+b+c)^2\geq (a+b+c)^2=1$
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq \frac{1}{3}$. Đặt $x=a^2+b^2+c^2(x>0)$
Ta có:
$F=14(a^2+b^2+c^2)+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}\geq 14(a^2+b^2+c^2)+\frac{3(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2}$
$=14x+\frac{3(1-x)}{2x}=14x+\frac{3}{2x}-\frac{3}{2}=\frac{1}{6}+9-\frac{3}{2}=\frac{23}{3}$
Dấu ''='' xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$ và $x=\frac{1}{3}$$\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$
Vậy GTNN của biểu thức F là $\frac{23}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 22-04-2017 - 13:47
Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh