Chủ đề này có 3 trả lời

[huykinhcan99]

Bài 1. (6 điểm)

Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} mx+3y+m+3=0 \\ x^2+y^2 -2x -15 =0 \end{array} \right.$ ($m$ là tham số)

1. Chứng minh hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt.
2. Gọi $\left(x_1, y_1\right)$ và $\left(x_2, y_2\right)$ là hai nghiệm của hệ. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F=\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2$.

 

Bài 2. (4 điểm)

Cho số tự nhiên $A$ thoả mãn: nếu đổi chỗ ít nhất một cặp vị trí các chữ số của số $A$, thì ta được số $B$ gấp 3 lần số $A$. Chứng minh rằng $B\ \vdots \ 27$.

 

Bài 3. (4 điểm)

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{C}=2\widehat{B}=4\widehat{A}$. Gọi $D$, $E$, $F$ theo thứ tự là chân của các đường phân giác trong hạ từ các đỉnh $A$, $B$, $C$. Chứng minh rằng tam giác $DEF$ cân.

 

Bài 4. (3 điểm)

Trong một giải đấu bóng đá có 10 đội tham gia theo thể thức mỗi đội đều gặp đội khác một lần. Người ta nhận thấy một điều thú vị là với 3 đội bóng $A$, $B$, $C$ bất kỳ, nếu $A$ thắng $B$ và $B$ thắng $C$ thì $A$ thắng $C$. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai điều sau phải xảy ra:

1. Có 4 đội $A$, $B$, $C$, $D$ mà $A$ thắng $B$, $B$ thắng $C$ và $C$ thắng $D$.
2. Có 4 đội mà các trận giữa họ đều hoà.

 

Bài 5. (3 điểm)

Giải phương trình:

\[11\sqrt{4-x}-26=-7x+2\sqrt{1+x}+\sqrt{4+3x-x^2}\]

 

[Dark Magician 2k2]

Bài 5. (3 điểm)

Giải phương trình:

\[11\sqrt{4-x}-26=-7x+2\sqrt{1+x}+\sqrt{4+3x-x^2}\]

Ta có:

$11\sqrt{4-x}-26=-7x+2\sqrt{1+x}+\sqrt{4+3x-x^2}$

$\Leftrightarrow 11\sqrt{4-x}-26+7x-2\sqrt{1+x}-\sqrt{4+3x-x^2}$

$\Leftrightarrow 21(11\sqrt{4-x}-26+7x-2\sqrt{1+x}-\sqrt{4+3x-x^2})=0$

$\Leftrightarrow 231\sqrt{4-x}-546+147x-42\sqrt{1+x}-21\sqrt{4+3x-x^2}=0$

$\Leftrightarrow 33.7\sqrt{4-x}-2.21\sqrt{1+x}-7.3\sqrt{4+3x-x^2}+147x-546=0$

$\Leftrightarrow 33(7\sqrt{4-x}+5x-22)-2(21\sqrt{1+x}-5x-27)-7(3\sqrt{4+3x-x^2}+4x-18)-33(5x-22)-2(5x+27)+7(4x-18)-546+147x=0$

$\Leftrightarrow 33(7\sqrt{4-x}+5x-22)-2(21\sqrt{1+x}-5x-27)-7(3\sqrt{4+3x-x^2}+4x-18)=0$

$\Leftrightarrow 33.\frac{49(4-x)-(5x-22)^2}{7\sqrt{4-x}+22-5x}-2.\frac{441(1+x)-(5x+27)^2}{21\sqrt{1+x}+5x+27}-7.\frac{9(4+3x+x^2)-(18-4x)^2}{3\sqrt{4+3x-x^2}-4x+18}=0$

$\Leftrightarrow (25x^2-171x+288)(\frac{33}{7\sqrt{4-x}+22-5x}-\frac{2}{21\sqrt{1+x}+5x+27}-\frac{7}{3\sqrt{4+3x-x^2}-4x+18})=0$

Ta có thể chứng minh ngoặc sau luôn dương bằng những đánh giá cơ bản (chiều gửi)

Do đó $25x^2-171x+288=0\Rightarrow \begin{bmatrix} x=3\\ x=\frac{96}{25} \end{bmatrix}$

Vậy tập nghiệm là $S=\left\{3,\frac{96}{25}\right\}$.

[Dark Magician 2k2]

Bài 2. (4 điểm)

Cho số tự nhiên $A$ thoả mãn: nếu đổi chỗ ít nhất một cặp vị trí các chữ số của số $A$, thì ta được số $B$ gấp 3 lần số $A$. Chứng minh rằng $B\ \vdots \ 27$.

Do B gấp 3 lần A nên B chia hết cho 3, suy ra A cũng chia hết cho 3 (vì tổng các chữ số của B giống của A), dó đó B chia hết cho 9, suy ra A cũng chia hết cho 9. Vậy B chia hết cho 27.

[didifulls]

 

Bài 1. (6 điểm)

Cho hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} mx+3y+m+3=0 \\ x^2+y^2 -2x -15 =0 \end{array} \right.$ ($m$ là tham số)

1. Chứng minh hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt.
2. Gọi $\left(x_1, y_1\right)$ và $\left(x_2, y_2\right)$ là hai nghiệm của hệ. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F=\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2$.

 

Bài 2. (4 điểm)

Cho số tự nhiên $A$ thoả mãn: nếu đổi chỗ ít nhất một cặp vị trí các chữ số của số $A$, thì ta được số $B$ gấp 3 lần số $A$. Chứng minh rằng $B\ \vdots \ 27$.

 

Bài 3. (4 điểm)

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{C}=2\widehat{B}=4\widehat{A}$. Gọi $D$, $E$, $F$ theo thứ tự là chân của các đường phân giác trong hạ từ các đỉnh $A$, $B$, $C$. Chứng minh rằng tam giác $DEF$ cân.

 

Bài 4. (3 điểm)

Trong một giải đấu bóng đá có 10 đội tham gia theo thể thức mỗi đội đều gặp đội khác một lần. Người ta nhận thấy một điều thú vị là với 3 đội bóng $A$, $B$, $C$ bất kỳ, nếu $A$ thắng $B$ và $B$ thắng $C$ thì $A$ thắng $C$. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai điều sau phải xảy ra:

1. Có 4 đội $A$, $B$, $C$, $D$ mà $A$ thắng $B$, $B$ thắng $C$ và $C$ thắng $D$.
2. Có 4 đội mà các trận giữa họ đều hoà.

 

Bài 5. (3 điểm)

Giải phương trình:

\[11\sqrt{4-x}-26=-7x+2\sqrt{1+x}+\sqrt{4+3x-x^2}\]

 

Ai giúp câu hình học đ.c không ạ?