Đến nội dung

Hình ảnh

$P=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}$

bất đẳng thức và cực trị

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Mathchip741

Mathchip741

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Với x,y là những số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}$

 



#2
Hoang Dinh Nhat

Hoang Dinh Nhat

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết

Ta có: $4y^2(x-y)^2\geq 0\Rightarrow 4x^2y^2-8xy^3+4y^4\geq 0$

$\Rightarrow x^4+8xy^3\leq x^4+4x^2y^2+4y^4\Rightarrow x^4+8xy^3\leq (x^2+2y^2)^2$

$\Rightarrow \frac{x^4}{x^4+8xy^3}\geq \frac{x^4}{(x^2+2y^2)^2}$

$\Rightarrow \sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}\geq \frac{x^2}{x^2+2y^2}$ $(1)$

Mặt khác, ta có: $(x-y)^2(x^2+xy+2y^2)\geq 0$

$\Rightarrow (x^2+2y^2-2xy-y^2)(x^2+2y^2+xy)\geq 0$

$\Rightarrow (x^2+2y^2)^2+x^3y+2xy^3-2x^3y-4xy^3-2x^2y^2-x^2y^2-2y^4-xy^3\geq 0$

$\Rightarrow (x^2+2y^2)^2\geq 2y^4+x^3y+3x^2y^2+3xy^3$

$\Rightarrow (x^2+2y^2)^2\geq y^4+y(y^3+x^3+3x^2y+3xy^2)$

$\Rightarrow (x^2+2y^2)^2\geq y^4+y(x+y)^3\Rightarrow \frac{4y^4}{y^4+y(x+y)^3}\geq \frac{4y^4}{(x^2+2y^2)^2}$

$\Rightarrow \sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}\geq \frac{2y^2}{x^2+2y^2}$ $(2)$

Từ (1) và (2) có: $P=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}\geq 1$

Dấu ''='' xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}4y^2(x-y)^2=0 & & \\ (x-y)^2(x^2+xy+2y^2)=0 & & \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow x=y$

Vậy GTNN của $P$ là 1


Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc

 

 

 

 


#3
TrBaoChis

TrBaoChis

    Hạ sĩ

  • Banned
  • 81 Bài viết

bài này thi KHTN vòng 1 :3







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực trị

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh