Với x,y là những số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}$
Với x,y là những số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$P=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}$
Ta có: $4y^2(x-y)^2\geq 0\Rightarrow 4x^2y^2-8xy^3+4y^4\geq 0$
$\Rightarrow x^4+8xy^3\leq x^4+4x^2y^2+4y^4\Rightarrow x^4+8xy^3\leq (x^2+2y^2)^2$
$\Rightarrow \frac{x^4}{x^4+8xy^3}\geq \frac{x^4}{(x^2+2y^2)^2}$
$\Rightarrow \sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}\geq \frac{x^2}{x^2+2y^2}$ $(1)$
Mặt khác, ta có: $(x-y)^2(x^2+xy+2y^2)\geq 0$
$\Rightarrow (x^2+2y^2-2xy-y^2)(x^2+2y^2+xy)\geq 0$
$\Rightarrow (x^2+2y^2)^2+x^3y+2xy^3-2x^3y-4xy^3-2x^2y^2-x^2y^2-2y^4-xy^3\geq 0$
$\Rightarrow (x^2+2y^2)^2\geq 2y^4+x^3y+3x^2y^2+3xy^3$
$\Rightarrow (x^2+2y^2)^2\geq y^4+y(y^3+x^3+3x^2y+3xy^2)$
$\Rightarrow (x^2+2y^2)^2\geq y^4+y(x+y)^3\Rightarrow \frac{4y^4}{y^4+y(x+y)^3}\geq \frac{4y^4}{(x^2+2y^2)^2}$
$\Rightarrow \sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}\geq \frac{2y^2}{x^2+2y^2}$ $(2)$
Từ (1) và (2) có: $P=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+(x+y)^3}}\geq 1$
Dấu ''='' xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}4y^2(x-y)^2=0 & & \\ (x-y)^2(x^2+xy+2y^2)=0 & & \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow x=y$
Vậy GTNN của $P$ là 1
Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc
bài này thi KHTN vòng 1 :3
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh