Chủ đề này có 3 trả lời

[Katyusha]

Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt cầu $(S_1):x^2+y^2+z^2+4x+2y+z=0$ và $(S_2): x^2+y^2+z^2-2x-y-z=0$ cắt nhau theo một đường tròn $(C)$ và ba điểm $A(1;0;0)$, $B(0;2;0)$ và $C(0;0;3)$. Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có tâm nằm trên đường tròn $(C)$ và tiếp xúc với ba đường thẳng $AB,AC,BC$?

 

A. 1

B. 2

C. 4

D. Vô số

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Katyusha: 24-04-2017 - 12:37

[chanhquocnghiem]

Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt cầu $(S_1):x^2+y^2+z^2+4x+2y+z=0$ và $(S_2): x^2+y^2+z^2-2x-y-z=0$ cắt nhau theo một đường tròn $(C)$ và ba điểm $A(1;0;0)$, $B(0;2;0)$ và $C(0;0;3)$. Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có tâm nằm trên đường tròn $(C)$ và tiếp xúc với ba đường thẳng $AB,AC,BC$?

 

A. 1

B. 2

C. 4

D. Vô số

Dễ thấy rằng đường tròn $(C)$ phải nằm trong mặt phẳng $\alpha :6x+3y+2z=0$

Gọi $\beta$ là mặt phẳng $(ABC)$ thì $\beta :6x+3y+2z-6=0$

Nhận xét $\alpha //\beta$

Gọi 3 tiếp điểm là $T_1,T_2,T_3$ ($T_1,T_2,T_3$ không thẳng hàng, thuộc $\beta$)

Câu hỏi trở thành : Có bao nhiêu mặt cầu có tâm nằm trên đường tròn $(C)$ thuộc $\alpha$ và đi qua 3 điểm $T_1,T_2,T_3$ không thẳng hàng thuộc $\beta$ ($\alpha //\beta$)

Dễ dàng có câu trả lời là : KHÔNG QUÁ $1$ mặt cầu thỏa mãn điều kiện nói trên.

Vì đây là câu hỏi trắc nghiệm nên có thể chọn đáp án A ($1$ mặt cầu) để tiết kiệm thời gian.Nhưng ta thử kiểm tra xem đáp án đó có đúng không (mặc dù việc kiểm tra này khá vất vả)

 

Mặt cầu $(S_1)$ có tâm $O_1\left ( -2;-1;-\frac{1}{2} \right )$, bán kính $R_1=\frac{\sqrt{21}}{2}$

Mặt cầu $(S_2)$ có tâm $O_2\left ( 1;\frac{1}{2};\frac{1}{2} \right )$, bán kính $R_2=\frac{\sqrt{6}}{2}$

Đường tròn $(C)$ có tâm $O'$, bán kính $r$ (nằm trong mặt phẳng $\alpha$)

$O_1O'=d(O_1,\alpha )=\frac{\left | 6.(-2)+3.(-1)+2.\left ( -\frac{1}{2} \right ) \right |}{\sqrt{6^2+3^2+2^2}}=\frac{16}{7}$

$r=\sqrt{R_1^2-O_1O'^2}=\frac{\sqrt{5}}{14}$

$O_1O'\perp \alpha \Rightarrow$ tọa độ của $O'$ có dạng $\left ( 6t-2;3t-1;2t-\frac{1}{2} \right )$

$O'\in \alpha \Rightarrow O'\left ( -\frac{2}{49};-\frac{1}{49};\frac{15}{98} \right )$

Gọi $AM,BN$ là 2 đường phân giác của $\Delta ABC$ và $I$ là tâm đường tròn nội tiếp của nó ($M\in BC$ ; $N\in AC$)

$y_M=y_C+(y_B-y_C).\frac{AC}{AB+AC}=\frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{5}+\sqrt{10}}=4-2\sqrt{2}$

$z_M=z_B+(z_C-z_B).\frac{AB}{AB+AC}=\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{10}}=3\sqrt{2}-3$

$\Rightarrow y_I=(4-2\sqrt{2})t$ ; $z_I=(3\sqrt{2}-3)t$ ($t$ là tham số)

$y_N=0$ ; $z_N=z_A+(z_C-z_A).\frac{AB}{AB+AC}=\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{13}}$

$\Rightarrow y_I=y_B+(y_N-y_B)m=2-2m$ ; $z_I=z_B+(z_N-z_B)m=\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{13}}\ m$ ($m$ là tham số cần tìm)

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}(4-2\sqrt{2})t=2-2m\\(3\sqrt{2}-3)t=\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{13}}\ m \end{matrix}\right.\Rightarrow m=\frac{\sqrt{13}+\sqrt{5}}{\sqrt{13}+\sqrt{10}+\sqrt{5}}$

$\Rightarrow I\left ( \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}+\sqrt{10}+\sqrt{5}};\frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{13}+\sqrt{10}+\sqrt{5}};\frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{13}+\sqrt{10}+\sqrt{5}} \right )$

Gọi $I'$ là hình chiếu của $I$ trên $\alpha$

Tọa độ của $I'$ có dạng $\left ( \frac{\sqrt{13}+6p}{\sqrt{13}+\sqrt{10}+\sqrt{5}};\frac{2\sqrt{10}+3p}{\sqrt{13}+\sqrt{10}+\sqrt{5}};\frac{3\sqrt{5}+2p}{\sqrt{13}+\sqrt{10}+\sqrt{5}} \right )$

$I'\in \alpha \Rightarrow I'\left ( \frac{13\sqrt{13}-36\sqrt{10}-36\sqrt{5}}{49(\sqrt{13}+\sqrt{10}+\sqrt{5})};\frac{80\sqrt{10}-18\sqrt{13}-18\sqrt{5}}{49(\sqrt{13}+\sqrt{10}+\sqrt{5})};\frac{135\sqrt{5}-12\sqrt{13}-12\sqrt{10}}{49(\sqrt{13}+\sqrt{10}+\sqrt{5})} \right )$

Nếu $O'I'=r$ thì $I'\in (C)$, suy ra đáp án là có $1$ mặt cầu.

Còn nếu $O'I'\neq r\Rightarrow$ đáp án là không có mặt cầu nào thỏa mãn.

Với một máy tính cầm tay, dễ dàng tính được $O'I'\neq r\Rightarrow$ KHÔNG CÓ mặt cầu nào thỏa mãn điều kiện đề bài.

[Katyusha]

Cám ơn bạn  . MÌnh thấy đáp án ra là 4 mặt cầu nhưng không có hướng dẫn. Mà bài này nếu ra thi chắc bỏ luôn 

[vkhoa]

Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt cầu $(S_1):x^2+y^2+z^2+4x+2y+z=0$ và $(S_2): x^2+y^2+z^2-2x-y-z=0$ cắt nhau theo một đường tròn $(C)$ và ba điểm $A(1;0;0)$, $B(0;2;0)$ và $C(0;0;3)$. Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có tâm nằm trên đường tròn $(C)$ và tiếp xúc với ba đường thẳng $AB,AC,BC$?

 

A. 1

B. 2

C. 4

D. Vô số

Bài này số xấu quá(theo cách làm của tôi)

cách của tôi là, tìm 4 điểm, tâm nội tiếp và 3 tâm bàng tiếp của tam giác ABC

tìm phương trình của 4 đường thẳng qua 4 điểm trên và vuông góc (ABC)

4 đường thẳng trên chính là quỹ tích tâm mặt cầu tiếp xúc AB, BC, CA

cuối cùng tìm trên 4 đường thẳng trên có điểm nào vừa cách tâm (S1) và (S2) khoảng cách bằng bán kính tương ứng không