Đến nội dung

Hình ảnh

CMR $\left ( X_{n} \right )$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Thuat ngu

Thuat ngu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 139 Bài viết

Cho số thực a và dãy số $\left ( X_{n} \right )$ thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} X_{0}=a & & \\ X_{n+1}= \frac{X_{n}^{2}}{2-X_{n}^{2}}& & \end{matrix}\right.$

a, Khi $a= \frac{1}{2}$. CMR $\left ( X_{n} \right )$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

b, Khi $a\in \left [ 0;1 \right ]$. CMR $\left ( X_{n} \right )$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thuat ngu: 25-04-2017 - 21:35


#2
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

Cho số thực a và dãy số $\left ( X_{n} \right )$ thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} X_{0}=a & & \\ X_{n+1}= \frac{X_{n}^{2}}{2-X_{n}^{2}}& & \end{matrix}\right.$

a, Khi $a= \frac{1}{2}$. CMR $\left ( X_{n} \right )$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

b, Khi $a\in \left [ 0;1 \right ]$. CMR $\left ( X_{n} \right )$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Làm câu b (là trường hợp tổng quát) trước.

 

b) Xét 2 trường hợp :

   + $a=0$ hoặc $a=1$ :

      Ta có $X_0=a$

      Giả sử $X_k=a$ ($k\geqslant 0$)

      $\Rightarrow X_{k+1}=\frac{X_k^2}{2-X_k^2}=\frac{a^2}{2-a^2}=a=X_k$

      $\Rightarrow$ dãy $(X_n)$ là một dãy hằng (các số hạng đều bằng nhau) nên nó có giới hạn hữu hạn và $\lim X_n=a$

 

   + $a\in (0;1)$

      Ta có $0< X_0=a< 1$

      Giả sử ta có $0< X_k< 1$ (với $k$ là số nguyên nào đó lớn hơn hoặc bằng $0$)

      $\Rightarrow X_{k+1}=\frac{X_k^2}{2-X_k^2}<\frac{X_k}{2-X_k^2}<\frac{X_k}{2-1}=X_k$

      $\Rightarrow$ dãy $(X_n)$ là dãy số giảm.

      Mặt khác dễ thấy $X_{n+1}=\frac{X_n^2}{2-X_n^2}> 0\Rightarrow$ mọi số hạng của dãy đều lớn hơn $0\Rightarrow$ dãy bị chặn dưới.

      $(X_n)$ giảm và bị chặn dưới nên có giới hạn hữu hạn.

      Gọi giới hạn hữu hạn đó là $L$, ta có : $L=\frac{L^2}{2-L^2}$

      $\Rightarrow L=0$ (loại giá trị $L=-2$ vì các số hạng đều dương ; loại giá trị $L=1$ vì dãy số giảm)

 

Tóm lại : Nếu $a\in \left [ 0;1 \right )$ thì $L=0$

              Nếu $a=1$ thì $L=1$

 

a) Theo kết quả câu b thì :

       $a=\frac{1}{2}\Rightarrow L=0$


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh