Chủ đề này có 1 trả lời

[mylove123]

Cho

Dãy số có giới han hay không? Nếu có hãy tính

Cho

Dãy số có giới han hay không? Nếu có hãy tính

$Cho \begin{Bmatrix} u_{1}=a& & \\ u_{n}=cosu_{n-1}& & \end{Bmatrix} Dãy số trên có giới hạn hữu hạn hay không? Nếu có hãy tí

Cho dãy số:

$\left\{\begin{matrix} u_{1} = a\\ u_{n} = cos u_{n-1} \end{matrix}\right.$

Dãy số trên có giới hạn hữu hạn hay không?

Nếu có hãy tìm $lim u_{n}$

[chanhquocnghiem]

 

Cho

 

Dãy số có giới han hay không? Nếu có hãy tính

Cho

 

Dãy số có giới han hay không? Nếu có hãy tính

$Cho \begin{Bmatrix} u_{1}=a& & \\ u_{n}=cosu_{n-1}& & \end{Bmatrix} Dãy số trên có giới hạn hữu hạn hay không? Nếu có hãy tí

Cho dãy số:

$\left\{\begin{matrix} u_{1} = a\\ u_{n} = cos u_{n-1} \end{matrix}\right.$

Dãy số trên có giới hạn hữu hạn hay không?

Nếu có hãy tìm $lim u_{n}$

 

Ta có $u_2=\cos a\in \left [ -1;1 \right ]$ ; $u_3=\cos u_2\in \left ( 0;1 \right ]$ ; $u_4=\cos u_3\in \left ( 0;1 \right )$

$\Rightarrow u_k\in (0;1),\forall k\geqslant 4$

Ta vẽ trên cùng 1 hệ tọa độ $Oxy$ đồ thị các hàm số $f(x)=\cos x$ và $g(x)=x$.

Đồ thị 2 hàm số này có duy nhất $1$ điểm chung là $A(\alpha ;\alpha)$ (dễ thấy $\alpha \in \left ( 0;1 \right )$)

Vì $u_k\in (0;1),\forall k\geqslant 4$ nên ta chỉ xét phần đồ thị của $f(x)=\cos x$ trên khoảng $(0;1)$

Ta có $\left | u_{k+1}-\alpha \right |=\left | \cos u_k-\cos\alpha \right |$ (1)

Nhưng vì hàm $f(x)$ lồi trên khoảng $(0;1)$ (tức là trên khoảng đó, đồ thị nằm dưới tiếp tuyến) nên ta có :

$\left | \cos u_k-\cos\alpha \right |< \left | u_k-\alpha \right |.\left | f'(u_k) \right |=\left | u_k-\alpha \right |.\left | -\sin(u_k) \right |< \left | u_k-\alpha \right |$ (2)

Gọi $(v_n)$ là dãy $(\left | u_n-\alpha \right |)$

(1),(2) $\Rightarrow (v_n)$ là dãy số giảm.Mặt khác $(v_n)$ bị chặn dưới $\Rightarrow (v_n)$ có giới hạn.Gọi giới hạn đó là $V$

$V=\left | u-\alpha \right |=\left | \cos u-\alpha \right |$ (với $u$ là giá trị cần tìm)

$\Rightarrow u=\cos u\Rightarrow u=\alpha \Rightarrow V=0$

hoặc $u-\alpha =\alpha -\cos u\Rightarrow u+\cos u=2\alpha \Rightarrow u=\alpha \Rightarrow V=0$

$\lim v_n=\lim\left | u_n-\alpha \right |=V=0\Rightarrow \lim u_n=\alpha$

Trong đó $\alpha$ là nghiệm phương trình $\cos x=x$ ($\alpha \approx 0,739085...$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 28-04-2017 - 16:52