Chủ đề này có 7 trả lời

[congquyen182]

cho x, y, z >0, $x^{2}+y^{2}+z^{2}=27$. C/m $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{3}{xyz}\geq \frac{10}{9}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 02-05-2017 - 08:54

[Trinm]

$27 = x^2 + y^2 + z^2 \geq \frac{(x+y+z)^2}{3} => (x+y+z)^2\leq 81 => x+y+z \leq  9$

$P = \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{3}{xyz}$

$\geq \frac{9}{x+y+z}+\frac{3}{\frac{(x+y+z)^3}{27}}$

$\geq \frac{9}{9}+\frac{81}{729} = \frac{10}{9}$

Dấu " = " xảy ra khi x = y = z = 3 

Đề phải là $\frac{10}{9}$ mới đúng chứ bạn, mình nghĩ vậy     

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trinm: 29-04-2017 - 21:01

[Hoang Dinh Nhat]

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{3}{xyz}\geq \frac{10}{9}$ chứ vì $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{3}{xyz}\geq \frac{4}{3}$ không thỏa mãn đk $x^2+y^2+z^2=27$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 29-04-2017 - 21:02

[Hoang Dinh Nhat]

 

$27 = x^2 + y^2 + z^2 \geq \frac{(x+y+z)^2}{3} => (x+y+z)^2\leq 81 => x+y+z \leq  9$

$P = \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{3}{xyz}$

$\geq \frac{9}{x+y+z}+\frac{3}{\frac{(x+y+z)^3}{27}}$

$\geq \frac{9}{9}+\frac{81}{729} = \frac{10}{9}$

Dấu " = " xảy ra khi x = y = z = 3 

Đề phải là $\frac{10}{9}$ mới đúng chứ bạn, mình nghĩ vậy     

 

Chứng minh luôn cái BĐT: $x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}$

BĐT cần chứng minh $(x+y+z)^2\leq 3(x^2+y^2+z^2)$

$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\leq 3x^2+3y^2+3z^2$

$\Leftrightarrow (x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2xz+x^2)\geq 0 \Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\geq 0$ (đúng)

BĐT cuối đúng nên BĐT được chứng minh

[Minhnksc]

cho x, y, z >0, $x^{2}+y^{2}+z^{2}=27$. C/m $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{3}{xyz}\geq \frac{4}{3}$

 

 

Đề phải là $\frac{10}{9}$ mới đúng chứ bạn, mình nghĩ vậy     

 

Mình thì lại nghĩ đề là $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{3}{xyz}\leq \frac{4}{3}$ mới đúng.

[Hoang Dinh Nhat]

Mình thì lại nghĩ đề là $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{3}{xyz}\leq \frac{4}{3}$ mới đúng.

Nếu $\geq$ thì $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{3}{xyz}\geq \frac{10}{9}$

[Baoriven]

Một lời giải khác.

Đặt $t=\sqrt[3]{xyz}$.

Từ giả thiết, ta có: $t\leq 3$.

Ta có: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{3}{xyz}\geq \frac{3}{t}+\frac{3}{t^3}$.

Ta chứng minh: $\frac{3}{t}+\frac{3}{t^3}\geq \frac{10}{9}\Leftrightarrow (t-3)(10t^2+3t+9)\leq 0$.

BĐT cuối đúng do $t\leq 3$.

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=3$.

[Nguyenhuyen_AG]

cho x, y, z >0, $x^{2}+y^{2}+z^{2}=27$. C/m $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{3}{xyz}\geq \frac{10}{9}$

 

Đặt

\[P=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{3}{xyz} - \frac{10}{9}.\]

Ta có

\[P = \frac{\displaystyle \sum (20z^3 + 20zx^2+20y^2z+243)(x-y)^2 + 90(xy+yz+zx) \sum (z-3)^2}{4374xyz}\geqslant 0.\]