1/ Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ 2 tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (B, C là 2 tiếp điểm). Tia AO cắt đường tròn (O) tại 2 điểm M, N (M nằm giữa AO). Vẽ đường kính CE, AE cắt (O) tại D, DB cắt AO tại I. Chứng minh $\frac{1}{AM} + \frac{1}{AM} = \frac{1}{AI}$
2/ Cho tứ giác lồi ABCD và M là trung điểm AB. Điểm P thuộc đường thẳng AC sao cho 2 đường thẳng MP và BC cắt nhau tại T. Gọi Q là điểm thuộc đoạn thẳng BD sao cho $\frac{BQ}{QD} = \frac{AP}{PC}$. Chứng minh đường thẳng TQ luôn đi qua 1 điểm cố định khi P chạy trên đường thẳng AC
1)
BC cắt AO tại F
ta có $AB^2 =AF .AO$ (1)
$\triangle ADB\sim\triangle ABE$(g, g)
$\Rightarrow\frac{AD}{AB} =\frac{AB}{AE}$
$\Rightarrow AB^2 =AD .AE$ (2)
từ (1, 2)$\Rightarrow\frac{AF}{AD} =\frac{AE}{AO}$
$\Rightarrow\triangle ADF\sim\triangle AOE$(c, g, c)
$\Rightarrow\widehat{AFD} =\widehat{AEC} =\widehat{IBF} =90^\circ -\widehat{BIF}$
$\Rightarrow DF\perp BD$ (3)
hạ OG vuông góc BD tại G (4), OG cắt BF tại H
từ (3, 4) và G trung điểm BD$\Rightarrow H$ là trung điểm BF (5)
có $\triangle BAF\sim\triangle OBF$ (g, g)
$\Rightarrow\frac{AF}{AB} =\frac{BF}{BO}$ (6)
có $\triangle BAI\sim\triangle OBH$ (g, g) (vì $\widehat{ABI} =\widehat{BOH}$)
$\Rightarrow\frac{AI}{AB} =\frac{BH}{BO}$ (7)
từ (6, 7)$\Rightarrow\frac{AI}{AF} =\frac{BH}{BF}$(8)
từ (5, 8)$\Rightarrow I$ là trung điểm AF
ta có $\frac1{AM} +\frac1{AN} =\frac{AN +AM}{AM .AN} =\frac{2 .AO}{AB^2} =\frac{2 .AO}{AF .AO}$
$=\frac2{AF} =\frac1{AI}$ (đpcm)
