Cho đa thức $f(x)=2009x^5-x^4-x^3-x^2-2006x+1$. Chứng minh rằng với mọi $n$ nguyên tuỳ ý thì các số $f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), ...$ đôi một nguyên tố cùng nhau.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 30-04-2017 - 15:55
Chứng minh rằng các số f(n), f(f(n)), ... đôi một nguyên tố cùng nhau.
Bắt đầu bởi Element hero Neos, 30-04-2017 - 15:55
#2
Đã gửi 01-05-2017 - 11:03
I Love MC
-
- Thành viên nổi bật 2016
-
- 1861 Bài viết
Đại úy
Đặt $f_k(x)=f(f(..(f(x)..))$ với $f$ cos mặt $k$ lần ở vế phải . Giả sử $k \ge 1$ là số tự nhiên bất kì và $p$ là một ước nguyên tố của $f_k(n)$ ta có :
$f_{k+1}(n) \equiv f(f_k(n)) \equiv f(0) \equiv 1 \pmod{p}$
$f_{k+2}(n) \equiv f(f_{k+1}(n)) \equiv f(1) \pmod{p}$
Bằng quy nạp dễ có $f_m(n) \equiv 1 \pmod{p},\forall m>k$
Từ đó suy ra $f_k(n),f_m(n)$ nguyên tố cùng nhau với mọi $m>k$ . Do $k$ tùy ý nên chọn $k=1$ và ta có điều phải chứng minh
- Element hero Neos yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
