Chủ đề này có 3 trả lời

[nguyenhongsonk612]

Cho hàm số $y=\frac{x^2+x-2}{x-2}$, điểm trên đồ thị mà tiếp tuyến tại đó lập với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất thì hoành độ bằng

A. $2\pm \sqrt[4]{10}$

B. $2\pm \sqrt[4]{6}$

C. $2\pm \sqrt[4]{12}$

D. $2\pm \sqrt[4]{8}$

[chanhquocnghiem]

Cho hàm số $y=\frac{x^2+x-2}{x-2}$, điểm trên đồ thị mà tiếp tuyến tại đó lập với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất thì hoành độ bằng

A. $2\pm \sqrt[4]{10}$

B. $2\pm \sqrt[4]{6}$

C. $2\pm \sqrt[4]{12}$

D. $2\pm \sqrt[4]{8}$

Hai đường tiệm cận là $x=2$ và $y=x+3$, cắt nhau tại $I(2;5)$

Lấy điểm $M$ tùy ý trên đồ thị có hoành độ là $m$ ($m\neq 2$).Tiếp tuyến với đồ thị tại $M$ cắt đường $x=2$ tại $P$, cắt đường $y=x+3$ tại $Q$

Phương trình tiếp tuyến đó là $y=\frac{m^2-4m}{(m-2)^2}\ (x-m)+\frac{m^2+m-2}{m-2}$

hay $y=\frac{(m^2-4m)x+3m^2-4m+4}{(m-2)^2}$

Cho $x=2\Rightarrow y_P=\frac{5m^2-12m+4}{(m-2)^2}=5+\frac{8}{m-2}\Rightarrow IP=\frac{8}{\left | m-2 \right |}$

Phương trình hoành độ điểm $Q$ : $(m^2-4m)x+3m^2-4m+4=(m-2)^2(x+3)\Leftrightarrow x_Q=2m-2$ ; $y_Q=2m+1$

$IQ=\sqrt{(x_Q-x_I)^2+(y_Q-y_I)^2}=\left | 2m-4 \right |\sqrt{2}=2\sqrt{2}\left | m-2 \right |$

$PQ=\sqrt{(x_Q-x_P)^2+(y_Q-y_P)^2}=\sqrt{(2m-4)^2+\left ( \frac{2m^2-8m}{m-2} \right )^2}=2\sqrt{(m-2)^2+\frac{m^2(m-4)^2}{(m-2)^2}}$

Đặt $\left | m-2 \right |=z$ ($z> 0$), ta có chu vi tam giác $IPQ$ là :

$C=IP+IQ+PQ=\frac{8}{z}+2\sqrt{2}\ z+2\sqrt{z^2+\frac{(z^2-4)^2}{z^2}}=\frac{8}{z}+2\sqrt{2}\ z+2\sqrt{\frac{2z^4-8z^2+16}{z^2}}$

$C'(z)=-\frac{8}{z^2}+2\sqrt{2}+\frac{z}{\sqrt{2z^4-8z^2+16}}.\left ( 4x-\frac{32}{x^3} \right )$

$C'(z)=0\Leftrightarrow z=\sqrt[4]{8}\Rightarrow m-2=\pm \sqrt[4]{8}$

$\Rightarrow m=2\pm \sqrt[4]{8}$ (dễ thấy đây là các điểm cực tiểu của hàm số $C$ (chu vi tam giác $IPQ$)

[nguyenhongsonk612]

Hai đường tiệm cận là $x=2$ và $y=x+3$, cắt nhau tại $I(2;5)$

Lấy điểm $M$ tùy ý trên đồ thị có hoành độ là $m$ ($m\neq 2$).Tiếp tuyến với đồ thị tại $M$ cắt đường $x=2$ tại $P$, cắt đường $y=x+3$ tại $Q$

Phương trình tiếp tuyến đó là $y=\frac{m^2-4m}{(m-2)^2}\ (x-m)+\frac{m^2+m-2}{m-2}$

hay $y=\frac{(m^2-4m)x+3m^2-4m+4}{(m-2)^2}$

Cho $x=2\Rightarrow y_P=\frac{5m^2-12m+4}{(m-2)^2}=5+\frac{8}{m-2}\Rightarrow IP=\frac{8}{\left | m-2 \right |}$

Phương trình hoành độ điểm $Q$ : $(m^2-4m)x+3m^2-4m+4=(m-2)^2(x+3)\Leftrightarrow x_Q=2m-2$ ; $y_Q=2m+1$

$IQ=\sqrt{(x_Q-x_I)^2+(y_Q-y_I)^2}=\left | 2m-4 \right |\sqrt{2}=2\sqrt{2}\left | m-2 \right |$

$PQ=\sqrt{(x_Q-x_P)^2+(y_Q-y_P)^2}=\sqrt{(2m-4)^2+\left ( \frac{2m^2-8m}{m-2} \right )^2}=2\sqrt{(m-2)^2+\frac{m^2(m-4)^2}{(m-2)^2}}$

Đặt $\left | m-2 \right |=z$ ($z> 0$), ta có chu vi tam giác $IPQ$ là :

$C=IP+IQ+PQ=\frac{8}{z}+2\sqrt{2}\ z+2\sqrt{z^2+\frac{(z^2-4)^2}{z^2}}=\frac{8}{z}+2\sqrt{2}\ z+2\sqrt{\frac{2z^4-8z^2+16}{z^2}}$

$C'(z)=-\frac{8}{z^2}+2\sqrt{2}+\frac{z}{\sqrt{2z^4-8z^2+16}}.\left ( 4x-\frac{32}{x^3} \right )$

$C'(z)=0\Leftrightarrow z=\sqrt[4]{8}\Rightarrow m-2=\pm \sqrt[4]{8}$

$\Rightarrow m=2\pm \sqrt[4]{8}$ (dễ thấy đây là các điểm cực tiểu của hàm số $C$ (chu vi tam giác $IPQ$)

Đến đây rồi có cách nào để tìm ra nghiệm $z$ không bạn?

Và có phải đối với mọi hàm số dạng như này, chu vi nhỏ nhất thì tiếp tuyến sẽ qua điểm cực trị hả bạn?

[chanhquocnghiem]

Đến đây rồi có cách nào để tìm ra nghiệm $z$ không bạn?

Và có phải đối với mọi hàm số dạng như này, chu vi nhỏ nhất thì tiếp tuyến sẽ qua điểm cực trị hả bạn?

$C'(z)=-\frac{8}{z^2}+2\sqrt{2}+\frac{z}{\sqrt{2z^4-8z^2+16}}.\left ( 4z-\frac{32}{z^3} \right )$

(Trên kia, ở chỗ trong ngoặc, mình đánh nhầm $z$ thành $x$)

$C'(z)=0\Leftrightarrow -\frac{4}{z^2}+\sqrt{2}+\frac{z}{\sqrt{2z^4-8z^2+16}}.\left ( 2z-\frac{16}{z^3} \right )=0$

Quy đồng và bỏ mẫu số :

$-4z\sqrt{2z^4-8z^2+16}+\sqrt{2}\ z^3\sqrt{2z^4-8z^2+16}+2z^5-16z=0$

$\sqrt{2}\ z^2\sqrt{2z^4-8z^2+16}+2z^4=4\sqrt{2z^4-8z^2+16}+16$ (vì $z> 0$)

$z^2=2\sqrt{2}=\sqrt{8}$

$z=\sqrt[4]{8}$

 

Nói chính xác là thế này : Khi chu vi nhỏ nhất thì $z$ nhận giá trị $z_0$ sao cho $C(z)$ đạt GTNN, còn $x$ (hoành độ tiếp điểm) sẽ nhận giá trị $2\pm z_0$.