Chủ đề này có 17 trả lời

[Silverbullet069]

6 điểm !

Hình gửi kèm

• 

[NHoang1608]

Câu II b) Mấy câu số khủng bố như thế này thì cứ quy nạp mà tới bến thôi.

Dễ thấy đề bài đúng với $n=1,2,3$

Giả sử bài toán đúng đến $n=k$ hay $20\mid M_{k}=2(2^{1}+3^{5}+.....+(k+2)^{4k+1})-(k+1)(k+4)$

Ta sẽ chứng minh bài toán cũng đúng với $n=k+1$ tức là chứng minh

      $20\mid M_{k+1}= 2(2^{1}+3^{5}+.....+(k+2)^{4k+1}+(k+3)^{4k+5})-(k+2)(k+5)$

Thật vậy ta thấy $M_{k+1}= 2(2^{1}+3^{5}+.....+(k+2)^{4k+1})-(k+1)(k+4)+2(k+3)^{4k+5}-2k-6$

                                        $= M_{k} + 2(k+3)^{4k+5}-2k-6$  $(*)$

Lại có $ 2(k+3)^{4k+5}-2k-6= 2[(k+3)^{4k+5}-(k+3)]$

Đặt $k+3=a$ suy ra $2[(k+3)^{4k+5}-(k+3)]= 2(a^{4k+5}-a)= 2((a^{4})^{k}.a-a)$

Xét $5\mid a$ thì dễ dàng suy ra $20\mid  2((a^{4})^{k}.a-a)$  $(1)$

Xét $(a;5)=1$ 

Thì theo định lí $Fermat$ nhỏ thì ta có $a^{4}\equiv 1 (mod5)$

$\Rightarrow (a^{4})^{k} \equiv 1 (mod5) \Rightarrow (a^{4})^{k}.a \equiv a (mod5)$

$\Rightarrow  5\mid (a^{4})^{k}.a-a \Rightarrow 20\mid  2((a^{4})^{k}.a-a)$  $(2)$

Từ $(1)(2)$ thì $20 \mid 2(k+3)^{4k+5}-2k-6$  $(3)$

Từ $(3)(*)$ và giả thiết quy nạp $20\mid M_{k}$ thì ta có $20\mid  M_{k+1}$

Như vậy bài toán đúng với $n=k+1$

Theo nguyên lí quy nạp ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 01-05-2017 - 12:09

[NHoang1608]

Đau mắt quá (CẬN)

          Trung tâm bồi dưỡng văn hóa                                           ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10

               HÀ NỘI-Amsterdam                                                        Môn: TOÁN CHUYÊN

                                                                                                                           Thời gian làm bài:150 phút

Câu I (2,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức sau:

               $P=\frac{1}{1+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{9}}+.....+\frac{1}{\sqrt{2009}+\sqrt{2013}}+\frac{1}{\sqrt{2013}+\sqrt{2017}}$.

b) Tính giá trị biểu thức

               $Q=x^{2}(x^{2}-3)^{2}-10x(x^{2}-3)-18$ với $x=\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}$.

Câu II (2,0 điểm)

a) Tìm tất cả số nguyên tố $p$ sao cho $2p+2$ là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp.

b) Chứng minh rằng: với mọi số nguyên dương $n$ thì số

       $M=2(2^{1}+3^{5}+4^{9}+.....+(n+2)^{4n+1}-(n+1)(n+4)$ chia hết cho $20$.

Câu III (2,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^{2}+1+y(y+x)=4y \\ (x^{2}+1)(y+x-2)=y \end{cases}$

b) Cho $a,b,c,d$ là 4 số thực đôi một khác nhau. Biết rằng $a,b$ là nghiệm của phương trình $x^{2}+mx+1=0$ và $c,d$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2}+nx+1$ ($m,n$ là các số thực). Chứng minh rằng phương trình $(a-c)(b-c)x^{2}+2(a-b)(c-d)x+(a-d)(d-b)=0$ có hai nghiệm thực phân biệt.

Câu IV (3,0 điểm).

Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$.

a) Nếu $AB=BC$, qua $B$ và $D$ dựng đường tròn tâm $I$ cắt các đường thẳng $AD,CD$ lần lượt tại $E,F$. Chứng minh rằng: $IB\perp EF$.

b) Giả sử $A,C$ là 2 điểm cố định,$B,D$ chuyển động trên $(O)$ sao cho $B,D$ khác phía với $AC$ và thỏa mãn $\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DC}$. Qua $B$ vẽ dây $BM$ song song với đường thẳng $AC$ ($M\in (O)$). Chứng minh rằng đường thẳng $DM$ luôn đi qua 1 điểm cố định khi $B,D$ chuyển động.

Câu V (1,0 điểm).

a) Giải phương trình $\sqrt{x}(1+\sqrt{x})+2=\sqrt{2-x}+3\sqrt{2x-x^{2}}$

b) Cho các số thực $x,y,z,t$ biến thiên và thỏa mãn $1\leq x,y,z,t \leq 2$.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A=\frac{(x+y)(y+t)}{(x+z)(z+y)}+\frac{(y+t)(t+z)}{(z+x)(x+t)}$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 01-05-2017 - 12:55

[Kiratran]

$Câu IV$

 b, gọi trung điểm của $AC$ là $K$. chứng minh được $AK$ là phân giác $\angle DKB$ (1)
lại có $ABMC$ là hình thang cân nên $\angle CKM=\angle AKB$ (2)
TỪ (1),(2) => $M,K,D$ thẳng hàng
=> $MD $đi qua trung điểm của $AC$ là $K$ cố định

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kiratran: 01-05-2017 - 16:53

[Nguyenphuctang]

Chém nhanh câu hệ:

$\ \left\{\begin{matrix} \frac{x^{2}+1}{y} +x+y=4 & & \\ \frac{x^{2}+1}{y} . (y+x-2)=1 & & \end{matrix}\right.$ 

Đến đây đặt ẩn: $a= \frac{x^{2}+1}{y} ; b = x+y$ Đoạn sau các bạn chém tiếp nhé.

Câu bất: 

Với điều kiện của bài toán ta có dễ dàng có đánh giá sau:

$$ x \geq \frac{x+y}{y+z} ; z \geq \frac{t+z}{x+t} $$

$$A= \frac{y+t}{x+z} . \left ( \frac{x+y}{y+z} + \frac{t+z}{x+t} \right ) \leq  \frac{4}{x+z} . (x+z)=4$$

$A_{max} =4$ khi $x=z=1;y=t=2$ . $\square$

[Mr Cooper]

Câu III. a)

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} \dfrac{x^2+1}{y}+(x+y)=4 \\ \dfrac{x^2+1}{y}(x+y-2)=1 \end{matrix}\right.$

Đặt $a=\dfrac{x^2+1}{y}$ và $b=x+y$ ta có: \[\left\{\begin{matrix} a+b=4\\ a(b-2)=1 \end{matrix}\right.\]

[Mr Cooper]

Câu V. a) $\sqrt{x}(1+\sqrt{x})+2=\sqrt{2-x}+3\sqrt{2x-x^{2}}$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x}-1)^2=(\sqrt{2-x}-1)(1 + 3\sqrt{x})$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x}-1)^2=\frac{1-x}{\sqrt{2-x}+1}(1 + 3\sqrt{x})$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x}-1) \left ( \sqrt{x}-1+\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{2-x}+1}(1 + 3\sqrt{x}) \right )=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr Cooper: 01-05-2017 - 17:42

[Mr Cooper]

Câu IV.

a) $\triangle BAE = \triangle BCF (g.c.g) \Rightarrow BE=BF$ $\Rightarrow B$ thuộc đường trung trực của $EF$

$IE=IF=R \Rightarrow I$ thuộc đường trung trực của $EF$

$\Rightarrow BI$ là đường trung trực của $EF$ $\Rightarrow BI \perp EF$

[Ren]

Câu 1b) 

\[{x^3} = 6 + 3x <  =  > {x^3} - 3x - 5 = 1 <  =  > {x^6} - 6{x^4} - 10{x^3} + 9{x^2} + 30x + 25 = 1\]

\[ <  =  > {x^6} - 6{x^4} - 10{x^3} + 9{x^2} + 30x =  - 24\]

\[Q = {x^2}{({x^2} - 3)^2} - 10x({x^2} - 3) - 18 = {x^6} - 6{x^4} - 10{x^3} + 9{x^2} + 30x - 18 =  - 24 - 18 =  - 42\]

[Mr Cooper]

Xin đưa ra lời giải khác cho bài Hình câu b 

 

Câu IV.

b) Gọi $N$ là giao điểm của $DM,AC$

Theo giải thiết $\Leftrightarrow \frac{AB}{AD}=\frac{BC}{CD} \Leftrightarrow \frac{CM}{AD}=\frac{AM}{CD}$ $(1)$

$\triangle DAN \sim \triangle CMN \Rightarrow \frac{CM}{AD} = \frac{CN}{DN}$ $(2)$

$\triangle DCN \sim \triangle AMN \Rightarrow \frac{AM}{CD} = \frac{AN}{DN}$ $(3)$

Từ $(1),(2)$ và $(3)$ $\Rightarrow AN = CN$

$\Rightarrow$ $DM$ luôn đi qua trung điểm $N$ của $AC$ 

[bigway1906]

Câu V. a) $\sqrt{x}(1+\sqrt{x})+2=\sqrt{2-x}+3\sqrt{2x-x^{2}}$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x}-1)^2=(\sqrt{2-x}-1)(1 + 3\sqrt{x})$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x}-1)^2=\frac{1-x}{\sqrt{2-x}+1}(1 + 3\sqrt{x})$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x}-1) \left ( \sqrt{x}-1+\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{2-x}+1}(1 + 3\sqrt{x}) \right )=0$

chưa xog đâu bạn, vẫn còn nghiệm $x=0,04$ nhé

[lenamath]

Bao gio cac ban thi vao amsterdam vay

[Bad locker]

Đề này dọa người tốt thật

[ABCchamhoc]

Bạn nào có đề toán chung không cho xin với. Cám ơn.

[Uchiha sisui]

Chém nhanh câu hệ:

$\ \left\{\begin{matrix} \frac{x^{2}+1}{y} +x+y=4 & & \\ \frac{x^{2}+1}{y} . (y+x-2)=1 & & \end{matrix}\right.$ 

Đến đây đặt ẩn: $a= \frac{x^{2}+1}{y} ; b = x+y$ Đoạn sau các bạn chém tiếp nhé.

Câu bất: 

Với điều kiện của bài toán ta có dễ dàng có đánh giá sau:

$$ x \geq \frac{x+y}{y+z} ; z \geq \frac{t+z}{x+t} $$

$$A= \frac{y+t}{x+z} . \left ( \frac{x+y}{y+z} + \frac{t+z}{x+t} \right ) \leq  \frac{4}{x+z} . (x+z)=4$$

$A_{max} =4$ khi $x=z=1;y=t=2$ . $\square$

Xin lỗi bạn, lời giải trên là của thầy Trần Quốc Anh phiền bạn ghi nguồn vào nhé, hi vọng bạn coi trọng sản phẩm trí tuệ của thầy !   

[Nguyenphuctang]

Xin lỗi bạn, lời giải trên là của thầy Trần Quốc Anh phiền bạn ghi nguồn vào nhé, hi vọng bạn coi trọng sản phẩm trí tuệ của thầy !   

Xin chào bạn! Bài này khá dễ nên chuyện lặp là bình thường, rất nhiều bạn đi thi thử về đều làm được và giống cách này nên chuyện lời giải ai giải trước không thể nói được. Mình và thầy có quen nhau thầy cũng biết tính mình nếu trích dẫn lời giải đều ghi nguồn. Nếu không tin có thể gặp trực tiếp hỏi thầy. Mình xin hết !

[Uchiha sisui]

Xin chào bạn! Bài này khá dễ nên chuyện lặp là bình thường, rất nhiều bạn đi thi thử về đều làm được và giống cách này nên chuyện lời giải ai giải trước không thể nói được. Mình và thầy có quen nhau thầy cũng biết tính mình nếu trích dẫn lời giải đều ghi nguồn. Nếu không tin có thể gặp trực tiếp hỏi thầy. Mình xin hết !

Mình cũng phục bạn thật giống từng chi tiết cắt bớt, mà ai bảo bạn nói rất nhiều bạn đi thi thử về đều làm được ? Mình cũng đi thi chẳng nhẽ mình không biết hỏi các bạn đó làm được hay không à ? 

[Uchiha sisui]

Xin chào bạn! Bài này khá dễ nên chuyện lặp là bình thường, rất nhiều bạn đi thi thử về đều làm được và giống cách này nên chuyện lời giải ai giải trước không thể nói được. Mình và thầy có quen nhau thầy cũng biết tính mình nếu trích dẫn lời giải đều ghi nguồn. Nếu không tin có thể gặp trực tiếp hỏi thầy. Mình xin hết !

Mình cũng nói luôn nếu bạn nói dễ xin mời bạn không hiểu biết gì, lời giải trên để có được là sự tinh tế và cực kì khéo léo và mình khẳng định 100% bạn copy giải ! Xin lỗi mình bạn mình kém nên ko có lời giải cho bài này mà bạn nói trùng lặp là chuyện bth thì mình xin nói hẳn bạn chỉ là tên bốc đồng ~!