Đề thi thử AMSTERDAM Hà Nội vòng 2 2016-2017 đợt cuối
#1
Đã gửi 01-05-2017 - 11:12
- Nguyenphuctang, Mr Cooper, NHoang1608 và 2 người khác yêu thích
"I am the bone of my sword,
Unknown to Death, Nor known to Life,
So as I pray, unlimited blade works."
#2
Đã gửi 01-05-2017 - 12:05
Câu II b) Mấy câu số khủng bố như thế này thì cứ quy nạp mà tới bến thôi.
Dễ thấy đề bài đúng với $n=1,2,3$
Giả sử bài toán đúng đến $n=k$ hay $20\mid M_{k}=2(2^{1}+3^{5}+.....+(k+2)^{4k+1})-(k+1)(k+4)$
Ta sẽ chứng minh bài toán cũng đúng với $n=k+1$ tức là chứng minh
$20\mid M_{k+1}= 2(2^{1}+3^{5}+.....+(k+2)^{4k+1}+(k+3)^{4k+5})-(k+2)(k+5)$
Thật vậy ta thấy $M_{k+1}= 2(2^{1}+3^{5}+.....+(k+2)^{4k+1})-(k+1)(k+4)+2(k+3)^{4k+5}-2k-6$
$= M_{k} + 2(k+3)^{4k+5}-2k-6$ $(*)$
Lại có $ 2(k+3)^{4k+5}-2k-6= 2[(k+3)^{4k+5}-(k+3)]$
Đặt $k+3=a$ suy ra $2[(k+3)^{4k+5}-(k+3)]= 2(a^{4k+5}-a)= 2((a^{4})^{k}.a-a)$
Xét $5\mid a$ thì dễ dàng suy ra $20\mid 2((a^{4})^{k}.a-a)$ $(1)$
Xét $(a;5)=1$
Thì theo định lí $Fermat$ nhỏ thì ta có $a^{4}\equiv 1 (mod5)$
$\Rightarrow (a^{4})^{k} \equiv 1 (mod5) \Rightarrow (a^{4})^{k}.a \equiv a (mod5)$
$\Rightarrow 5\mid (a^{4})^{k}.a-a \Rightarrow 20\mid 2((a^{4})^{k}.a-a)$ $(2)$
Từ $(1)(2)$ thì $20 \mid 2(k+3)^{4k+5}-2k-6$ $(3)$
Từ $(3)(*)$ và giả thiết quy nạp $20\mid M_{k}$ thì ta có $20\mid M_{k+1}$
Như vậy bài toán đúng với $n=k+1$
Theo nguyên lí quy nạp ta có đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 01-05-2017 - 12:09
- CaptainCuong, Nguyenphuctang, Mr Cooper và 4 người khác yêu thích
The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.
----- Michelangelo----
#3
Đã gửi 01-05-2017 - 12:50
Đau mắt quá (CẬN)
Trung tâm bồi dưỡng văn hóa ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10
HÀ NỘI-Amsterdam Môn: TOÁN CHUYÊN
Thời gian làm bài:150 phút
Câu I (2,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức sau:
$P=\frac{1}{1+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{9}}+.....+\frac{1}{\sqrt{2009}+\sqrt{2013}}+\frac{1}{\sqrt{2013}+\sqrt{2017}}$.
b) Tính giá trị biểu thức
$Q=x^{2}(x^{2}-3)^{2}-10x(x^{2}-3)-18$ với $x=\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}$.
Câu II (2,0 điểm)
a) Tìm tất cả số nguyên tố $p$ sao cho $2p+2$ là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp.
b) Chứng minh rằng: với mọi số nguyên dương $n$ thì số
$M=2(2^{1}+3^{5}+4^{9}+.....+(n+2)^{4n+1}-(n+1)(n+4)$ chia hết cho $20$.
Câu III (2,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^{2}+1+y(y+x)=4y \\ (x^{2}+1)(y+x-2)=y \end{cases}$
b) Cho $a,b,c,d$ là 4 số thực đôi một khác nhau. Biết rằng $a,b$ là nghiệm của phương trình $x^{2}+mx+1=0$ và $c,d$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2}+nx+1$ ($m,n$ là các số thực). Chứng minh rằng phương trình $(a-c)(b-c)x^{2}+2(a-b)(c-d)x+(a-d)(d-b)=0$ có hai nghiệm thực phân biệt.
Câu IV (3,0 điểm).
Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$.
a) Nếu $AB=BC$, qua $B$ và $D$ dựng đường tròn tâm $I$ cắt các đường thẳng $AD,CD$ lần lượt tại $E,F$. Chứng minh rằng: $IB\perp EF$.
b) Giả sử $A,C$ là 2 điểm cố định,$B,D$ chuyển động trên $(O)$ sao cho $B,D$ khác phía với $AC$ và thỏa mãn $\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DC}$. Qua $B$ vẽ dây $BM$ song song với đường thẳng $AC$ ($M\in (O)$). Chứng minh rằng đường thẳng $DM$ luôn đi qua 1 điểm cố định khi $B,D$ chuyển động.
Câu V (1,0 điểm).
a) Giải phương trình $\sqrt{x}(1+\sqrt{x})+2=\sqrt{2-x}+3\sqrt{2x-x^{2}}$
b) Cho các số thực $x,y,z,t$ biến thiên và thỏa mãn $1\leq x,y,z,t \leq 2$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A=\frac{(x+y)(y+t)}{(x+z)(z+y)}+\frac{(y+t)(t+z)}{(z+x)(x+t)}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 01-05-2017 - 12:55
- HoangKhanh2002, Mr Cooper, ddang00 và 1 người khác yêu thích
The greatest danger for most of us is not that our aim is too high and we miss it, but that it is too low and we reach it.
----- Michelangelo----
#4
Đã gửi 01-05-2017 - 16:52
$Câu IV$
b, gọi trung điểm của $AC$ là $K$. chứng minh được $AK$ là phân giác $\angle DKB$ (1)
lại có $ABMC$ là hình thang cân nên $\angle CKM=\angle AKB$ (2)
TỪ (1),(2) => $M,K,D$ thẳng hàng
=> $MD $đi qua trung điểm của $AC$ là $K$ cố định
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kiratran: 01-05-2017 - 16:53
- Nguyenphuctang yêu thích
Duyên do trời làm vương vấn một đời.
#5
Đã gửi 01-05-2017 - 17:03
Chém nhanh câu hệ:
$\ \left\{\begin{matrix} \frac{x^{2}+1}{y} +x+y=4 & & \\ \frac{x^{2}+1}{y} . (y+x-2)=1 & & \end{matrix}\right.$
Đến đây đặt ẩn: $a= \frac{x^{2}+1}{y} ; b = x+y$ Đoạn sau các bạn chém tiếp nhé.
Câu bất:
Với điều kiện của bài toán ta có dễ dàng có đánh giá sau:
$$ x \geq \frac{x+y}{y+z} ; z \geq \frac{t+z}{x+t} $$
$$A= \frac{y+t}{x+z} . \left ( \frac{x+y}{y+z} + \frac{t+z}{x+t} \right ) \leq \frac{4}{x+z} . (x+z)=4$$
$A_{max} =4$ khi $x=z=1;y=t=2$ . $\square$
#6
Đã gửi 01-05-2017 - 17:20
Câu III. a)
$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} \dfrac{x^2+1}{y}+(x+y)=4 \\ \dfrac{x^2+1}{y}(x+y-2)=1 \end{matrix}\right.$
Đặt $a=\dfrac{x^2+1}{y}$ và $b=x+y$ ta có: \[\left\{\begin{matrix} a+b=4\\ a(b-2)=1 \end{matrix}\right.\]
- NHoang1608 yêu thích
#7
Đã gửi 01-05-2017 - 17:41
Câu V. a) $\sqrt{x}(1+\sqrt{x})+2=\sqrt{2-x}+3\sqrt{2x-x^{2}}$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x}-1)^2=(\sqrt{2-x}-1)(1 + 3\sqrt{x})$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x}-1)^2=\frac{1-x}{\sqrt{2-x}+1}(1 + 3\sqrt{x})$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x}-1) \left ( \sqrt{x}-1+\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{2-x}+1}(1 + 3\sqrt{x}) \right )=0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr Cooper: 01-05-2017 - 17:42
- Nguyen Xuan Hieu yêu thích
#8
Đã gửi 01-05-2017 - 17:52
Câu IV.
a) $\triangle BAE = \triangle BCF (g.c.g) \Rightarrow BE=BF$ $\Rightarrow B$ thuộc đường trung trực của $EF$
$IE=IF=R \Rightarrow I$ thuộc đường trung trực của $EF$
$\Rightarrow BI$ là đường trung trực của $EF$ $\Rightarrow BI \perp EF$
#9
Đã gửi 01-05-2017 - 18:18
Câu 1b)
\[{x^3} = 6 + 3x < = > {x^3} - 3x - 5 = 1 < = > {x^6} - 6{x^4} - 10{x^3} + 9{x^2} + 30x + 25 = 1\]
\[ < = > {x^6} - 6{x^4} - 10{x^3} + 9{x^2} + 30x = - 24\]
\[Q = {x^2}{({x^2} - 3)^2} - 10x({x^2} - 3) - 18 = {x^6} - 6{x^4} - 10{x^3} + 9{x^2} + 30x - 18 = - 24 - 18 = - 42\]
#10
Đã gửi 01-05-2017 - 19:10
Xin đưa ra lời giải khác cho bài Hình câu b
Câu IV.
b) Gọi $N$ là giao điểm của $DM,AC$
Theo giải thiết $\Leftrightarrow \frac{AB}{AD}=\frac{BC}{CD} \Leftrightarrow \frac{CM}{AD}=\frac{AM}{CD}$ $(1)$
$\triangle DAN \sim \triangle CMN \Rightarrow \frac{CM}{AD} = \frac{CN}{DN}$ $(2)$
$\triangle DCN \sim \triangle AMN \Rightarrow \frac{AM}{CD} = \frac{AN}{DN}$ $(3)$
Từ $(1),(2)$ và $(3)$ $\Rightarrow AN = CN$
$\Rightarrow$ $DM$ luôn đi qua trung điểm $N$ của $AC$
- NHoang1608 yêu thích
#11
Đã gửi 01-05-2017 - 19:48
Câu V. a) $\sqrt{x}(1+\sqrt{x})+2=\sqrt{2-x}+3\sqrt{2x-x^{2}}$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x}-1)^2=(\sqrt{2-x}-1)(1 + 3\sqrt{x})$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x}-1)^2=\frac{1-x}{\sqrt{2-x}+1}(1 + 3\sqrt{x})$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x}-1) \left ( \sqrt{x}-1+\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{2-x}+1}(1 + 3\sqrt{x}) \right )=0$
chưa xog đâu bạn, vẫn còn nghiệm $x=0,04$ nhé
#12
Đã gửi 01-05-2017 - 23:04
#13
Đã gửi 02-05-2017 - 07:51
Đề này dọa người tốt thật
#14
Đã gửi 02-05-2017 - 13:08
#15
Đã gửi 02-05-2017 - 20:21
Chém nhanh câu hệ:
$\ \left\{\begin{matrix} \frac{x^{2}+1}{y} +x+y=4 & & \\ \frac{x^{2}+1}{y} . (y+x-2)=1 & & \end{matrix}\right.$
Đến đây đặt ẩn: $a= \frac{x^{2}+1}{y} ; b = x+y$ Đoạn sau các bạn chém tiếp nhé.
Câu bất:
Với điều kiện của bài toán ta có dễ dàng có đánh giá sau:
$$ x \geq \frac{x+y}{y+z} ; z \geq \frac{t+z}{x+t} $$
$$A= \frac{y+t}{x+z} . \left ( \frac{x+y}{y+z} + \frac{t+z}{x+t} \right ) \leq \frac{4}{x+z} . (x+z)=4$$
$A_{max} =4$ khi $x=z=1;y=t=2$ . $\square$
Xin lỗi bạn, lời giải trên là của thầy Trần Quốc Anh phiền bạn ghi nguồn vào nhé, hi vọng bạn coi trọng sản phẩm trí tuệ của thầy !
- Dark Magician 2k2 và NTL2k1 thích
#16
Đã gửi 02-05-2017 - 21:36
Xin lỗi bạn, lời giải trên là của thầy Trần Quốc Anh phiền bạn ghi nguồn vào nhé, hi vọng bạn coi trọng sản phẩm trí tuệ của thầy !
Xin chào bạn! Bài này khá dễ nên chuyện lặp là bình thường, rất nhiều bạn đi thi thử về đều làm được và giống cách này nên chuyện lời giải ai giải trước không thể nói được. Mình và thầy có quen nhau thầy cũng biết tính mình nếu trích dẫn lời giải đều ghi nguồn. Nếu không tin có thể gặp trực tiếp hỏi thầy. Mình xin hết !
#17
Đã gửi 02-05-2017 - 21:50
Xin chào bạn! Bài này khá dễ nên chuyện lặp là bình thường, rất nhiều bạn đi thi thử về đều làm được và giống cách này nên chuyện lời giải ai giải trước không thể nói được. Mình và thầy có quen nhau thầy cũng biết tính mình nếu trích dẫn lời giải đều ghi nguồn. Nếu không tin có thể gặp trực tiếp hỏi thầy. Mình xin hết !
Mình cũng phục bạn thật giống từng chi tiết cắt bớt, mà ai bảo bạn nói rất nhiều bạn đi thi thử về đều làm được ? Mình cũng đi thi chẳng nhẽ mình không biết hỏi các bạn đó làm được hay không à ?
#18
Đã gửi 03-05-2017 - 17:29
Xin chào bạn! Bài này khá dễ nên chuyện lặp là bình thường, rất nhiều bạn đi thi thử về đều làm được và giống cách này nên chuyện lời giải ai giải trước không thể nói được. Mình và thầy có quen nhau thầy cũng biết tính mình nếu trích dẫn lời giải đều ghi nguồn. Nếu không tin có thể gặp trực tiếp hỏi thầy. Mình xin hết !
Mình cũng nói luôn nếu bạn nói dễ xin mời bạn không hiểu biết gì, lời giải trên để có được là sự tinh tế và cực kì khéo léo và mình khẳng định 100% bạn copy giải ! Xin lỗi mình bạn mình kém nên ko có lời giải cho bài này mà bạn nói trùng lặp là chuyện bth thì mình xin nói hẳn bạn chỉ là tên bốc đồng ~!
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh