Chủ đề này có 2 trả lời

[DiepDan]

1. Cho pt: $x^{2}-2mx+m-2=0$. Tìm m để M= $\frac{-24}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-6x_{1}x_{2}}$ đạt gtnn

2. Cho pt $x^{2}-2x+m^{2}-2m+1=0$. CMR nếu pt có nghiệm thì $\left | x_{1}-x_{2} \right |\leq 2$

3. Cho pt: $x^{4}-2(2m+4)x^{2}+m^{2}+8=0$. Tìm m để pt có 4 nghiệm phân biệt TM: $x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+x_{4}^{4}=240$

[huykinhcan99]

1. Cho pt: $x^{2}-2mx+m-2=0$. Tìm m để M= $\frac{-24}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-6x_{1}x_{2}}$ đạt gtnn

2. Cho pt $x^{2}-2x+m^{2}-2m+1=0$. CMR nếu pt có nghiệm thì $\left | x_{1}-x_{2} \right |\leq 2$

3. Cho pt: $x^{4}-2(2m+4)x^{2}+m^{2}+8=0$. Tìm m để pt có 4 nghiệm phân biệt TM: $x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+x_{4}^{4}=240$

1. \[x^2-2mx+m-2=0\]

Ta có: $\Delta'=m^2-m+2=\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}>0$. Vậy phương trình luôn có nghiệm $x_1$, $x_2$.

Áp dụng hệ thức $Viete$ ta có ngay

\begin{align*} N&=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-6x_{1}x_{2}\\ &=\left(x_1+x_2\right)^2-8x_1x_2 \\ &=\left(2m\right)^2-8\left(m-2\right) \\ &=4m^2-8m+16 \\ &=4\left(m-1\right)^2+12\geqslant 12 \end{align*}

Vậy $M=\dfrac{-24}{N}\geqslant -2$. Giá trị nhỏ nhất của $M$ là $-2$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $m=1$.

 

2. \[x^2-2x+m^2-2m+1=0 \iff x^2-2x+\left(m-1\right)^2\]

Ta có: $\Delta'=1-\left(m-1\right)^2=m\left(2-m\right)$. Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $\Delta'\geqslant 0 \iff 0\leqslant m\leqslant 2$. Chú ý, ta cũng có $\Delta'=1-\left(m-1\right)^2\leqslant 1$.

Chú ý rằng, theo công thức nghiệm thì $\left|x_1-x_2\right| = \left|\left(1+\sqrt{\Delta'}\right)-\left(1-\sqrt{\Delta'}\right)\right|=2\sqrt{\Delta'}\leqslant 2$.

 

3. \begin{equation} \label{eq:1} x^{4}-2(2m+4)x^{2}+m^{2}+8=0 \end{equation}

Đặt $x^2=t$. Ta thu được phương trình

\begin{equation} \label{eq:2} t^{2}-2(2m+4)t+m^{2}+8=0 \end{equation}

Coi đây là phương trình bậc 2 theo biến $t$. Ta có $\Delta'=\left(2m+4\right)^2-\left(m^2+8\right)=3m^2+16m+8$.

Để phương trình \eqref{eq:1} có 4 nghiệm phân biệt thì \eqref{eq:2} phải có 2 nghiệm dương phân biệt. Điều đó có nghĩa là

\[\left\{\begin{array}{l} \Delta'>0 \\ x_1+x_2>0 \\ x_1x_2>0 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l} 3m^2+16m+8>0 \\ 2\left(2m+4\right)>0 \\ m^2+8>0 \end{array}\right.\iff m> \dfrac{-8+2\sqrt{10}}{3}\]

 

Chú ý rằng \eqref{eq:1} là phương trình trùng phương. Điều đó có nghĩa là 4 nghiệm $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$ có thể được chia thành hai cặp nghiệm đối nhau. Không giảm tổng quát, giả sử rằng $x_1+x_2=x_3+x_4=0$. Khi đó dễ thấy rằng $x_1^2=x_2^2=t_1$, $x_3^2=x_4^2=t_2$, với $t_1$, $t_2$ là hai nghiệm của phương trình \eqref{eq:2}.

 

Khi đó, ta có

\begin{align*} &\phantom{\iff~} x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4=240 \\ &\iff 2\left(t_1^2+t_2^2\right)=240 \\ &\iff \left(t_1+t_2\right)^2-2t_1t_2=120 \\ &\iff \left[2\left(2m+4\right)\right]^2-2\left(m^2+8\right)=120 \\ &\iff 14m^2+64m-72=0 \\ &\iff \left[ \begin{array}{l} m=\dfrac{-16+2\sqrt{127}}{7} \\ m=\dfrac{-16-2\sqrt{127}}{7} \quad \left(\text{trái điều kiện } m> \dfrac{-8+2\sqrt{10}}{3}\right) \end{array} \right.\end{align*}

 

Thử lại thấy thoả mãn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huykinhcan99: 02-05-2017 - 21:39

[hoangquochung3042002]

1. \[x^2-2mx+m-2=0\]

Ta có: $\Delta'=m^2-m+2=\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}>0$. Vậy phương trình luôn có nghiệm $x_1$, $x_2$.

Áp dụng hệ thức $Viete$ ta có ngay

\begin{align*} N&=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-6x_{1}x_{2}\\ &=\left(x_1+x_2\right)^2-8x_1x_2 \\ &=\left(2m\right)^2-8\left(m-2\right) \\ &=4m^2-8m+16 \\ &=4\left(m-1\right)^2+12\geqslant 12 \end{align*}

Vậy $M=\dfrac{-24}{N}\geqslant -2$. Giá trị nhỏ nhất của $M$ là $-2$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $m=1$.

 

2. \[x^2-2x+m^2-2m+1=0 \iff x^2-2x+\left(m-1\right)^2\]

Ta có: $\Delta'=1-\left(m-1\right)^2=m\left(2-m\right)$. Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $\Delta'\geqslant 0 \iff 0\leqslant m\leqslant 2$. Chú ý, ta cũng có $\Delta'=1-\left(m-1\right)^2\leqslant 1$.

Chú ý rằng, theo công thức nghiệm thì $\left|x_1-x_2\right| = \left|\left(1+\sqrt{\Delta'}\right)-\left(1-\sqrt{\Delta'}\right)\right|=2\sqrt{\Delta'}\leqslant 2$.

 

3. \begin{equation} \label{eq:1} x^{4}-2(2m+4)x^{2}+m^{2}+8=0 \end{equation}

Đặt $x^2=t$. Ta thu được phương trình

\begin{equation} \label{eq:2} t^{2}-2(2m+4)t+m^{2}+8=0 \end{equation}

Coi đây là phương trình bậc 2 theo biến $t$. Ta có $\Delta'=\left(2m+4\right)^2-\left(m^2+8\right)=3m^2+16m+8$.

Để phương trình \eqref{eq:1} có 4 nghiệm phân biệt thì \eqref{eq:2} phải có 2 nghiệm dương phân biệt. Điều đó có nghĩa là

\[\left\{\begin{array}{l} \Delta'>0 \\ x_1+x_2>0 \\ x_1x_2>0 \end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l} 3m^2+16m+8>0 \\ 2\left(2m+4\right)>0 \\ m^2+8>0 \end{array}\right.\iff m> \dfrac{-8+2\sqrt{10}}{3}\]

 

Chú ý rằng \eqref{eq:1} là phương trình trùng phương. Điều đó có nghĩa là 4 nghiệm $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$ có thể được chia thành hai cặp nghiệm đối nhau. Không giảm tổng quát, giả sử rằng $x_1+x_2=x_3+x_4=0$. Khi đó dễ thấy rằng $x_1^2=x_2^2=t_1^2$, $x_3^2=x_4^2=t_2^2$, với $t_1$, $t_2$ là hai nghiệm của phương trình \eqref{eq:2}.

 

Khi đó, ta có

\begin{align*} &\phantom{\iff~} x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4=240 \\ &\iff 2\left(t_1^2+t_2^2\right)=240 \\ &\iff \left(t_1+t_2\right)^2-2t_1t_2=120 \\ &\iff \left[2\left(2m+4\right)\right]^2-2\left(m^2+8\right)=120 \\ &\iff 14m^2+64m-72=0 \\ &\iff \left[ \begin{array}{l} m=\dfrac{-16+2\sqrt{127}}{7} \\ m=\dfrac{-16-2\sqrt{127}}{7} \quad \left(\text{trái điều kiện } m> \dfrac{-8+2\sqrt{10}}{3}\right) \end{array} \right.\end{align*}

 

Thử lại thấy thoả mãn.

bài cuối đã từng có trong đề thi chuyên nguyễn du đaklak đó a. bài đầu.