Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: $\sum \frac{a}{b}\geq 3\sqrt{\frac{\sum a^{2}}{\sum ab}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 02-05-2017 - 23:44
Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: $\sum \frac{a}{b}\geq 3\sqrt{\frac{\sum a^{2}}{\sum ab}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 02-05-2017 - 23:44
$\mathbb{VTL}$
1 kết quả khác khá yếu hơn nhưng vẫn đẹp:
$$ \sum \dfrac{a}{b} \geq 3. \sqrt{\dfrac{\sum a^{2}}{\sum ab }} \geq \sqrt{5 + \dfrac{4 \sum a^{2}}{\sum ab}} $$
Cách 1: Không mất tính tổng quát giả sử $c=min\left \{ a,b,c \right \}$. Ta có BĐT cần chứng minh tương đương với:
$\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )^2 \ge 9\left ( \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} \right )$
$\mathbb{VTL}$
Cách 2:
Trước hết ta chứng minh bổ đề sau: Cho $a,b,c$ là các số dương. Chứng minh rằng khi đó ta có:$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \ge \frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{\sqrt[3]{abc}}$
Chuẩn hoá $abc=1$, ta đưa bài toán về chứng minh
$\mathbb{VTL}$
Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: $\sum \frac{a}{b}\geq 3\sqrt{\frac{\sum a^{2}}{\sum ab}}$
Ta có
\[(ab+bc+ca)\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}\right) ^2 - 9(a^2+b^2+c^2) = \sum \left(\frac{a^3}{b}+\frac{ca^2}{b}+\frac{ca^3}{b^2}+\frac{2a^2b}{c}+2ab-7a^2\right) \geqslant 0.\]
Bất đẳng thức cuối đùng đúng theo bất đẳng thức cho $7$ số.
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh