Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh: $\sum \frac{a}{b}\geq 3\sqrt{\frac{\sum a^{2}}{\sum ab}}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
Drago

Drago

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 462 Bài viết

Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: $\sum \frac{a}{b}\geq 3\sqrt{\frac{\sum a^{2}}{\sum ab}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 02-05-2017 - 23:44

$\mathbb{VTL}$


#2
Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết

1 kết quả khác khá yếu hơn nhưng vẫn đẹp:

$$ \sum \dfrac{a}{b} \geq 3. \sqrt{\dfrac{\sum a^{2}}{\sum ab }} \geq \sqrt{5 + \dfrac{4 \sum a^{2}}{\sum ab}} $$ 



#3
Duy Thai2002

Duy Thai2002

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 433 Bài viết

1 kết quả khác khá yếu hơn nhưng vẫn đẹp:

$$ \sum \dfrac{a}{b} \geq 3. \sqrt{\dfrac{\sum a^{2}}{\sum ab }} \geq \sqrt{5 + \dfrac{4 \sum a^{2}}{\sum ab}} $$ 

Cái đó là cm hả bạn


Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.


#4
Drago

Drago

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 462 Bài viết

Cách 1: Không mất tính tổng quát giả sử $c=min\left \{ a,b,c \right \}$. Ta có BĐT cần chứng minh tương đương với:

              $\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )^2 \ge 9\left ( \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca} \right )$ 

tương đương
       $M(a-b)^2+N(a-c)(b-c) \ge 0$
Với
       $M=\frac{1}{ab}\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \right )-\frac{9}{ab+bc+ca}$
       $N=\frac{1}{bc}\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \right )-\frac{9}{ab+bc+ca}$
Vì $c=min\left \{ a,b,c \right \}$ nên $M \le N$ và $(a-c)(b-c) \ge 0$, vậy nên ta chỉ cần chứng minh $M \ge 0$ là đủ.
Ta có:
                 $M \ge 0\Leftrightarrow \frac{1}{ab}\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \right )-\frac{9}{ab+bc+ca} \ge 0\Leftrightarrow \left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \right )\left ( 1+\frac{c}{a}+\frac{c}{b} \right ) \ge 9 $
BĐT trên đúng do $\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \right )\left ( 1+\frac{c}{a}+\frac{c}{b} \right ) > \left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right )+\left ( \frac{4c}{b}+\frac{b}{c}+4 \right ) \ge 2+4+4=10>9$
Vậy ta có $M \ge 0$
Phép chứng minh hoàn tất. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c. \square$

$\mathbb{VTL}$


#5
Drago

Drago

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 462 Bài viết

Cách 2:

Trước hết ta chứng minh bổ đề sau: Cho $a,b,c$ là các số dương. Chứng minh rằng khi đó ta có:$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \ge \frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{\sqrt[3]{abc}}$

Chuẩn hoá $abc=1$, ta đưa bài toán về chứng minh

$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \ge \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}$
hay $\left (\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}  \right ) \ge 3(a^2+b^2+c^2)$
Sử dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có:
$\frac{a^2}{b^2}+\frac{a}{c}+\frac{a}{c} \ge 3a^2$
$\frac{b^2}{c^2}+\frac{b}{a}+\frac{b}{a} \ge 3b^2$
$\frac{c^2}{a^2}+\frac{c}{b}+\frac{c}{b} \ge 3c^2$
Cộng vế theo vế ba BĐT trên ta suy ra được
$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}+2\left (\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}  \right ) \ge 3(a^2+b^2+c^2)$
hay $\left (\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}  \right )^2 \ge 3(a^2+b^2+c^2)$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$
 
Áp dụng bổ đề vừa chứng minh ta được
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \ge \frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{\sqrt[3]{abc}}$
Vậy nên ta chỉ cần chứng minh $\frac{\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}}{\sqrt[3]{abc}} \ge 3\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}}$
hay $\sqrt{3(ab+bc+ca)}\geq 3\sqrt[3]{abc}$
Theo bất đẳng thức $AM-GM$ ta có
                  $\sqrt{3(ab+bc+ca)}\geq \sqrt{3.3.\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}=3\sqrt[3]{abc}$
Phép chứng minh hoàn tất. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c. \square$

 


$\mathbb{VTL}$


#6
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh: $\sum \frac{a}{b}\geq 3\sqrt{\frac{\sum a^{2}}{\sum ab}}$

 

Ta có

\[(ab+bc+ca)\left(\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a}\right) ^2 - 9(a^2+b^2+c^2) = \sum \left(\frac{a^3}{b}+\frac{ca^2}{b}+\frac{ca^3}{b^2}+\frac{2a^2b}{c}+2ab-7a^2\right) \geqslant 0.\]

Bất đẳng thức cuối đùng đúng theo bất đẳng thức cho $7$ số.


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh