Chủ đề này có 3 trả lời

[Drago]

Cho a,b,c không âm thoả mãn a+b+c 3. Chứng minh:

$\sum \frac{a}{4-c} \leq 1$

[Hoang Dinh Nhat]

Ta có: $0\leq a,b,c\leq 3$

Ta có: $\frac{a}{4-c}+\frac{b}{4-a}+\frac{c}{4-b}=\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{a+c+1}$

BĐT cần chứng minh $\Leftrightarrow \frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{a+c+1}$$\leq 1$

$\Leftrightarrow \frac{a^2b+abc+ac^2+b^2c-a-b-c-1}{(a+b+1)(a+c+1)(b+c+1)}\leq 0$

$\Leftrightarrow a^2b+abc+ac^2+b^2c-a-b-c-1\leq 0$

Với điều kiện  $0\leq a,b,c\leq 3$ ta dễ dàng chứng minh BĐT cuối luôn đúng

Hoặc ta có thể chứng minh bằng cách giải bất phương trình cuối ra thì thấy với $0\leq a,b,c\leq 3$ thì $a^2b+abc+ac^2+b^2c-a-b-c-1$ luôn $\leq 0$

Dấu ''='' xảy ra khi: $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 03-05-2017 - 09:10

[AnhTran2911]

Quá đơn giản. Khai triển tất t cần CM:

$a^2b+b^2c+c^2a+abc\leq4$

CM cái ni chỉ việc dùng BĐT bổ đề $(a+b+c)^3\geq\frac{27}{4}(a^2b+b^2c+c^2a)$ là xoong.

[Nguyenhuyen_AG]

Quá đơn giản. Khai triển tất t cần CM:

$a^2b+b^2c+c^2a+abc\leq4$

CM cái ni chỉ việc dùng BĐT bổ đề $(a+b+c)^3\geq\frac{27}{4}(a^2b+b^2c+c^2a)$ là xoong.

 

Bổ đề là hệ quả của bất đẳng thức cần chứng minh !