Chủ đề này có 10 trả lời

[Drago]

Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác có ab+bc+ca=3abc. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{1}{a^3+abc}\geq \sum \frac{1}{ab+c^2}$

[Hoang Dinh Nhat]

Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác có ab+bc+ca=3abc. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{1}{a^3+abc}\geq \sum \frac{1}{ab+c^2}$

 

Đặt $(a;b;c)=(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z})$. Ta có: $x+y+z=3$

BĐT cần chứng minh trở thành: $\frac{x^2-x}{x^2+yz}+\frac{y^2-y}{y^2+xz}+\frac{z^2-z}{z^2+xy}\geq 0$

Theo $AM-GM$, ta có: $\frac{x^2-x}{x^2+yz}+\frac{y^2-y}{y^2+xz}+\frac{z^2-z}{z^2+xy}\geq \frac{4x^2-4x}{5x^2-6x+9}+\frac{4y^2-4y}{5y^2-6y+9}+\frac{4z^2-4z}{5z^2-6z+9}$

Ta có đánh giá: $\frac{4x^2-4x}{5x^2-6x+9}$$\geq \frac{x-1}{2}$

$\Leftrightarrow (x-1)^2(9-5x)\geq 0$

Nếu $x\leq \frac{9}{5}$ thì đánh giá trên luôn đúng: $\sum \frac{4x^2-4x}{5x^2-6x+9}$$\geq \frac{x+y+z-3}{2}=0$

Nếu $x> \frac{9}{5}$: Ta có: $f'(x)=\frac{-(4x^2-72x+36)}{25x^4-60x^3+126x^2-108x+81}>0$ nên ta được $\frac{4x^2-4x}{5x^2-6x+9}> \frac{2}{5}>0$$\Rightarrow \sum \frac{4x^2-4x}{5x^2-6x+9}>0$

BĐT được cm thành công

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 20-06-2017 - 19:33

[Drago]

Đặt $(a;b;c)=(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z})$. Ta có: $x+y+z=3$

BĐT cần chứng minh trở thành: $\frac{x^2-x}{x^2+yz}+\frac{y^2-y}{y^2+xz}+\frac{z^2-z}{z^2+xy}\geq 0$

Theo $AM-GM$, ta có: $\frac{x^2-x}{x^2+yz}+\frac{y^2-y}{y^2+xz}+\frac{z^2-z}{z^2+xy}\geq \frac{4x^2-4x}{5x^2-6x+9}+\frac{4y^2-4y}{5y^2-6y+9}+\frac{4z^2-4z}{5z^2-6z+9}$

Ta có đánh giá: $\frac{4x^2-4x}{5x^2-6x+9}$$\geq \frac{x-1}{2}$

$\Leftrightarrow (x-1)^2(9-5x)\geq 0$

Nếu $x\leq \frac{9}{5}$ thì đánh giá trên luôn đúng: $\sum \frac{4x^2-4x}{5x^2-6x+9}$$\geq \frac{x+y+z-3}{2}=0$

Nếu $x> \frac{9}{5}$: Ta có: $f'(x)=\frac{-(4x^2-72x+36)}{25x^4-60x^3+126x^2-108x+81}>0$ nên ta được $\frac{4x^2-4x}{5x^2-6x+9}\geq \frac{2}{5}>0$$\Rightarrow \sum \frac{4x^2-4x}{5x^2-6x+9}>0$

BĐT được cm thành công

Hình như chỗ đạo hàm bị sai rồi.

[Hoang Dinh Nhat]

Hình như chỗ đạo hàm bị sai rồi.

 

sai chỗ nào a

[Drago]

sai chỗ nào a

Theo công thức thì $\left (\frac{u}{v} \right )'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

nên $f'(x)=\frac{-44x^2+136x-60}{(5x^2-6x+9)^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 20-06-2017 - 19:38

[Hoang Dinh Nhat]

Theo công thức thì $\left (\frac{u}{v} \right )'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

nên $f'(x)=\frac{-44x^2+136x-60}{(5x^2-6x+9)^2}$

 

e tính chuẩn r a ơi

[Drago]

e tính chuẩn r a ơi

Nếu theo ý e, có phải  $f(x)=\frac{4x^2-4x}{5x^2-6x+9}$

khi đó:

$f'(x)=\frac{(4x^2-4x)'(5x^2-6x+9)-(4x^2-4x)(5x^2-6x+9)'}{(5x^2-6x+9)^2}$

$=\frac{(8x-4)(5x^2-6x+9)-(4x^2-4x)(10x-6)}{(5x^2-6x+9)^2}$

$=\frac{-44x^2+136x-60}{(5x^2-6x+9)^2}$

[Hoang Dinh Nhat]

 

Nếu theo ý e, có phải  $f(x)=\frac{4x^2-4x}{5x^2-6x+9}$

khi đó:

$f'(x)=\frac{(4x^2-4x)'(5x^2-6x+9)-(4x^2-4x)(5x^2-6x+9)'}{(5x^2-6x+9)^2}$

$=\frac{(8x-4)(5x^2-6x+9)-(4x^2-4x)(10x-6)}{(5x^2-6x+9)^2}$

$=\frac{-44x^2+136x-60}{(5x^2-6x+9)^2}$

 

 

Ẹc anh thu gọn nhầm cái trên tử r

[Drago]

Đặt $(a;b;c)=(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z})$. Ta có: $x+y+z=3$

BĐT cần chứng minh trở thành: $\frac{x^2-x}{x^2+yz}+\frac{y^2-y}{y^2+xz}+\frac{z^2-z}{z^2+xy}\geq 0$

Theo $AM-GM$, ta có: $\frac{x^2-x}{x^2+yz}+\frac{y^2-y}{y^2+xz}+\frac{z^2-z}{z^2+xy}\geq \frac{4x^2-4x}{5x^2-6x+9}+\frac{4y^2-4y}{5y^2-6y+9}+\frac{4z^2-4z}{5z^2-6z+9}$

Ta có đánh giá: $\frac{4x^2-4x}{5x^2-6x+9}$$\geq \frac{x-1}{2}$

$\Leftrightarrow (x-1)^2(9-5x)\geq 0$

Nếu $x\leq \frac{9}{5}$ thì đánh giá trên luôn đúng: $\sum \frac{4x^2-4x}{5x^2-6x+9}$$\geq \frac{x+y+z-3}{2}=0$

Nếu $x> \frac{9}{5}$: Ta có: $f'(x)=\frac{-(4x^2-72x+36)}{25x^4-60x^3+126x^2-108x+81}>0$ nên ta được $\frac{4x^2-4x}{5x^2-6x+9}> \frac{2}{5}>0$$\Rightarrow \sum \frac{4x^2-4x}{5x^2-6x+9}>0$

BĐT được cm thành công

Ẹc, e đúng rồi,xin lỗi hihi , nhưng mà chỗ màu đỏ nó chưa dương được đâu! Vì mẫu dương nên dấu phụ thuộc tử, tức là $4x^2-72x+36<0$

tương đương $9-6\sqrt{2}<x<9+6\sqrt{2}$ thì $x>\frac{9}{2}$ nó vẫn âm được.

 

P/s: Thôi rồi :>, quên mất $x<3$, xấu hổ ghê, off .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 20-06-2017 - 20:48

[Hoang Dinh Nhat]

Ẹc, e đúng rồi,xin lỗi hihi , nhưng mà chỗ màu đỏ nó chưa dương được đâu!

 

Với $3>x>\frac{9}{5}$ thì luôn dương a

[Drago]

Giả sử $a\ge b\ge c$. Do $a,b,c$ là số đo ba cạnh của tam giác nên

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{c}\ge\frac{1}{b}\ge\frac{1}{a}\\ \frac{1}{ab+c^2}\ge\frac{1}{ac+b^2}\ge\frac{1}{bc+a^2}\end{matrix}\right.$

Áp dụng bất đẳng thức $Chebyshev$ ta có:

$\frac{1}{c}.\frac{1}{ab+c^2}+\frac{1}{b}.\frac{1}{ac+b^2}+\frac{1}{a}.\frac{1}{bc+a^2}\ge\frac{1}{3}.\left ( \frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a} \right ).\left ( \frac{1}{ab+c^2}+\frac{1}{ac+b^2}+\frac{1}{bc+a^2} \right )$

Do $ab+bc+ca=3abc$ suy ra $ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$

Từ đó ta có đpcm.