Chủ đề này có 3 trả lời

[Drago]

Giả sử a,b,c là các số dương thoả mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{1}{a^{2}}\geq \sum a^{2}$

[AnhTran2911]

Chỉ việc Áp dụng bổ đề sau và phân chia các TH còn lại:

$\frac{1}{a^2}+a^2\geq-4a+4$

[Nguyenhuyen_AG]

Giả sử a,b,c là các số dương thoả mãn a+b+c=3. Chứng minh rằng:

$\sum \frac{1}{a^{2}}\geq \sum a^{2}$

 

Ta có

\[P = \frac1{a^2} + \frac1{b^2} + \frac1{c^2} - a^2-b^2-c^2\]

\[=\frac{7}{90}\sum \frac{b^2(c-1)^2}{a^2} + \frac{1}{810}\sum \left({\frac{60ac}{{b}^{2}}}+{\frac{68bc}{{a}^{2}}}+{\frac{40a}{b}}+{\frac{32b}{a}}+{\frac{284{c}^{2}}{ab}}+{\frac{10{b}^{2}}{{c}^{2}}}+{\frac{3{b}^{2}}{{a}^{2}}}+{\frac{22{c}^{2
}}{{a}^{2}}}\right)(a-b)^2.\]

Nên $P \geqslant 0.$

[Nguyenhuyen_AG]

Dùng hệ số bất định.