Cho a, b nguyên dương thỏa mãn a(2a + 1) = b(3b + 1). CMR 2a + 2b + 1 là số chính phương
#2
Đã gửi 03-05-2017 - 20:22
Element hero Neos
-
- Thành viên
-
- 943 Bài viết
Trung úy
Cho a, b nguyên dương thỏa mãn a(2a + 1) = b(3b + 1). CMR 2a + 2b + 1 là số chính phương
Ta biến đổi giả thiết như sau
$a(2a+1)=b(3b+1)\Leftrightarrow 2a^2+a=3b^2+b\Leftrightarrow 2a^2-2b^2+a-b=b^2\Leftrightarrow (a-b)(2a+2b+1)=b^2$
Dễ chứng minh $(a-b;2a+2a+1)=1$, suy ra $2a+2b+1$ và $a-b$ đều là số chính phương.
Vậy ta có đpcm.
#3
Đã gửi 04-05-2017 - 10:04
jupiterhn9x
-
- Banned
-
- 71 Bài viết
Hạ sĩ
Ta biến đổi giả thiết như sau
$a(2a+1)=b(3b+1)\Leftrightarrow 2a^2+a=3b^2+b\Leftrightarrow 2a^2-2b^2+a-b=b^2\Leftrightarrow (a-b)(2a+2b+1)=b^2$
Dễ chứng minh $(a-b;2a+2a+1)=1$, suy ra $2a+2b+1$ và $a-b$ đều là số chính phương.
Vậy ta có đpcm.
Chỗ chứng minh nguyên tố cùng nhau nó là mấu chốt của bài toán
Chứng minh như thế nào thế bạn
#4
Đã gửi 09-05-2017 - 15:35
minhmeo68
-
- Thành viên mới
-
- 37 Bài viết
Binh nhất
Minh chứng minh chỗ đó thế này:
Gọi d = ƯCLN(a - b; 2a + 2b + 1)
Suy ra (a - b)*(2a + 2b + 1) = b^2 chia hết cho d^2
Suy ra b^2 chia hết cho d^2
Suy ra b chia hết cho d
Suy ra a chia hết cho d
Suy ra 1 chia hết cho d
- jupiterhn9x yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
