Chủ đề này có 2 trả lời

[Chika Mayona]

Cho hình chóp $S.ABCD$ có  $SA=a\sqrt{6}$ và vuong góc với mặt phẳng $ABCD$ là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính $AD=2a$ 

$a)$ Tính các khoảng cách từ $A$ và $B$ đến mặt phẳng $(SCD)$ 

$b)$ Tính khoảng cách từ đường thẳng $AD$ đến mặt phẳng $(SBC)$ 

$c)$ Tính diện tích của thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ với mặt phẳng $\alpha$ song song với mặt phẳng $(SAD)$ và cách một khoảng bằng $\frac{a\sqrt{3}}{4}$

[chanhquocnghiem]

Cho hình chóp $S.ABCD$ có  $SA=a\sqrt{6}$ và vuong góc với mặt phẳng $ABCD$ là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính $AD=2a$ 

$a)$ Tính các khoảng cách từ $A$ và $B$ đến mặt phẳng $(SCD)$ 

$b)$ Tính khoảng cách từ đường thẳng $AD$ đến mặt phẳng $(SBC)$ 

$c)$ Tính diện tích của thiết diện của hình chóp $S.ABCD$ với mặt phẳng $\alpha$ song song với mặt phẳng $(SAD)$ và cách một khoảng bằng $\frac{a\sqrt{3}}{4}$

a) Gọi $O$ là trung điểm của $AD$, ta có $OC=OA=OD\Rightarrow AC \perp CD$ và $AC=\sqrt{AD^2-CD^2}=a\sqrt{3}$

    Kẻ $AI \perp SC$ ($I\in SC$) (1)

    $\left\{\begin{matrix}CD\perp AC\\CD\perp SA \end{matrix}\right.\Rightarrow CD\perp(SAC)\Rightarrow AI\perp CD$ (2)

    (1),(2) $\Rightarrow AI\perp (SCD)\Rightarrow AI=d(A,(SCD))$

    $d(A,(SCD))=AI=\frac{SA.AC}{SC}=\frac{SA.AC}{\sqrt{SA^2+AC^2}}=a\sqrt{2}$

    Gọi $E=AB\cap CD\Rightarrow E=AB\cap (SCD)$.

    Dễ thấy $BE=\frac{AE}{2}\Rightarrow d(B,(SCD))=\frac{d(A,(SCD))}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

 

b) Kẻ $AJ\perp BC$ ($J\in BC$) và $AK\perp SJ$ ($K\in SJ$)

    $BC\perp AJ\Rightarrow BC\perp SJ\Rightarrow BC\perp (SAJ)\Rightarrow AK\perp BC\Rightarrow AK\perp (SBC)$

    $d(AD,(SBC))=d(A,(SBC))=AK=\frac{SA.AJ}{SJ}=\frac{SA.AJ}{\sqrt{SA^2+AJ^2}}=\frac{\frac{3a^2\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{6a^2+\frac{3a^2}{4}}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$

 

c) $SA\perp(ABCD)\Rightarrow (SAD)\perp(ABCD)\Rightarrow \alpha \perp(ABCD)$

    Gọi $M=AB\cap \alpha$ ; $N=CD\cap \alpha\Rightarrow d(AD,MN)=d((SAD),\alpha)=\frac{a\sqrt{3}}{4}=\frac{AJ}{2}$

    $\Rightarrow M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$

    Gọi $P=SC\cap \alpha$ ; $Q=SB\cap \alpha\Rightarrow P,Q$ lần lượt là trung điểm của $SC$ và $SB$

    $\Rightarrow$ Thiết diện là hình thang $MNPQ$ có $MN=\frac{3a}{2}$ ; $PQ=\frac{a}{2}$ và chiều cao $h=\frac{SA}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$

    $V_{MNPQ}=\frac{(MN+PQ).h}{2}=\frac{a^2\sqrt{6}}{2}$.

[Chika Mayona]

a) Gọi $O$ là trung điểm của $AD$, ta có $OC=OA=OD\Rightarrow AC \perp CD$ và $AC=\sqrt{AD^2-CD^2}=a\sqrt{3}$

    Kẻ $AI \perp SC$ ($I\in SC$) (1)

    $\left\{\begin{matrix}CD\perp AC\\CD\perp SA \end{matrix}\right.\Rightarrow CD\perp(SAC)\Rightarrow AI\perp CD$ (2)

    (1),(2) $\Rightarrow AI\perp (SCD)\Rightarrow AI=d(A,(SCD))$

    $d(A,(SCD))=AI=\frac{SA.AC}{SC}=\frac{SA.AC}{\sqrt{SA^2+AC^2}}=a\sqrt{2}$

    Gọi $E=AB\cap CD\Rightarrow E=AB\cap (SCD)$.

    Dễ thấy $BE=\frac{AE}{2}\Rightarrow d(B,(SCD))=\frac{d(A,(SCD))}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

 

b) Kẻ $AJ\perp BC$ ($J\in BC$) và $AK\perp SJ$ ($K\in SJ$)

    $BC\perp AJ\Rightarrow BC\perp SJ\Rightarrow BC\perp (SAJ)\Rightarrow AK\perp BC\Rightarrow AK\perp (SBC)$

    $d(AD,(SBC))=d(A,(SBC))=AK=\frac{SA.AJ}{SJ}=\frac{SA.AJ}{\sqrt{SA^2+AJ^2}}=\frac{\frac{3a^2\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{6a^2+\frac{3a^2}{4}}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$

 

c) $SA\perp(ABCD)\Rightarrow (SAD)\perp(ABCD)\Rightarrow \alpha \perp(ABCD)$

    Gọi $M=AB\cap \alpha$ ; $N=CD\cap \alpha\Rightarrow d(AD,MN)=d((SAD),\alpha)=\frac{a\sqrt{3}}{4}=\frac{AJ}{2}$

    $\Rightarrow M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$

    Gọi $P=SC\cap \alpha$ ; $Q=SB\cap \alpha\Rightarrow P,Q$ lần lượt là trung điểm của $SC$ và $SB$

    $\Rightarrow$ Thiết diện là hình thang $MNPQ$ có $MN=\frac{3a}{2}$ ; $PQ=\frac{a}{2}$ và chiều cao $h=\frac{SA}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$

    $V_{MNPQ}=\frac{(MN+PQ).h}{2}=\frac{a^2\sqrt{6}}{2}$.

Dạ, e cảm ơn anh ạ ^^

Nhân tiện anh cho e hỏi làm sao để nhìn nhanh ra thiết diện đây ạ?? E thấy mông lung quá @@