Chủ đề này có 5 trả lời

[Drago]

Cho a,b,c là các số thực không âm. Chứng minh rằng:

$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\geq 2\sqrt{a+b+c-\frac{abc}{ab+bc+ca}}$

[Drago]

Bình phương 2 vế BĐT trên ta có BĐT tương đương:

 

                     $2(a+b+c)+2\sum\sqrt{a+b}\sqrt{b+c} \ge 4 \left ( a+b+c-\frac{abc}{ab+bc+ca} \right )$

 

Tương đương

                     $\sum \sqrt{(a+b)(a+c)}+\frac{2abc}{ab+bc+ca} \ge a+b+c$

 

Rõ ràng: 

                     $\frac{2abc}{ab+bc+ca} \ge 0$

        $\sum \sqrt{(a+b)(a+c)} \ge \sum\sqrt{a}\sqrt{a}=a+b+c$

 

Ta có đpcm. $\square $

[viet9a14124869]

Bình phương 2 vế BĐT trên ta có BĐT tương đương:

 

                     $2(a+b+c)+2\sum\sqrt{a+b}\sqrt{b+c} \ge 4 \left ( a+b+c-\frac{abc}{ab+bc+ca} \right )$

 

Tương đương

                     $\sum \sqrt{(a+b)(a+c)}+\frac{2abc}{ab+bc+ca} \ge a+b+c$

 

Rõ ràng: 

                     $\frac{2abc}{ab+bc+ca} \ge 0$

        $\sum \sqrt{(a+b)(a+c)} \ge \sum\sqrt{a}\sqrt{a}=a+b+c$

 

Ta có đpcm. $\square $

Lời giải có chút vi diệu về dấu "=" đấy .

[Drago]

Lời giải có chút vi diệu về dấu "=" đấy .

Bài này có lẽ không xảy ra dấu "="

[vamath16]

vậy bài này làm ntn ạ?????

[Drago]

vậy bài này làm ntn ạ?????

Có thể bỏ dấu bằng của BĐT đi.