Chủ đề này có 1 trả lời

[Chika Mayona]

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=2a$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Tam giác $ABC$ vuông tại $C$ với $AB=2a$, $\widehat{BAC}=30^0$. Gọi $M$ là một điểm di động trên cạnh $AC$, $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên $BM$.

$a)$ Chứng minh rằng AH _|_ BM.

$b)$ Đặt $AM=x$ với $0\leqslant x\leqslant \sqrt{3}$. Tính khoảng cách từ $S$ đến $BM$ theo $a$ và $x$. Tìm các giá trị của $x$ để khoảng cách này có giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.

 

[chanhquocnghiem]

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=2a$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Tam giác $ABC$ vuông tại $C$ với $AB=2a$, $\widehat{BAC}=30^0$. Gọi $M$ là một điểm di động trên cạnh $AC$, $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên $BM$.

$a)$ Chứng minh rằng AH _|_ BM.

$b)$ Đặt $AM=x$ với $0\leqslant x\leqslant \sqrt{3}$. Tính khoảng cách từ $S$ đến $BM$ theo $a$ và $x$. Tìm các giá trị của $x$ để khoảng cách này có giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.

a) $\left\{\begin{matrix}BM\perp SH\\BM\perp SA \end{matrix}\right.\Rightarrow BM\perp(SHA)\Rightarrow BM\perp AH$

 

b) Sửa lại đề : $0\leqslant x\leqslant a\sqrt{3}$

    Ta có $CM=a\sqrt{3}-x\Rightarrow BM^2=BC^2+CM^2=x^2-2a\sqrt{3}\ x+4a^2$

    Các tam giác $AHM$ và $BCM$ đồng dạng, suy ra :

    $AH^2=\frac{BC^2.AM^2}{BM^2}\Rightarrow SH^2=AH^2+SA^2=\frac{a^2x^2}{x^2-2a\sqrt{3}\ x+4a^2}+4a^2$

    $d(S,BM)=SH=\sqrt{\frac{a^2x^2}{x^2-2a\sqrt{3}\ x+4a^2}+4a^2}$

    $SH$ đạt GTNN hay GTLN $\Leftrightarrow SH^2$ đạt GTNN hay GTLN, nên ta chỉ cần xét biểu thức của $SH^2$.Đặt biểu thức đó là $f(x)$

    Tính $f'(x)$ rồi xét dấu của nó trên $\left [ 0;a\sqrt{3} \right ]$

    Ta thấy $f'(x)\geqslant 0,\forall x\in\left [ 0;a\sqrt{3} \right ]$, dấu bằng chỉ xảy ra khi $x=0$

    $\Rightarrow f_{min}=f(0)=4a^2\Rightarrow SH_{min}=2a$ (khi $x=0$)

                       $f_{max}=f(a\sqrt{3})=7a^2\Rightarrow SH_{max}=a\sqrt{7}$ (khi $x=a\sqrt{3}$)