Cho các số thực không âm a,b,c. Chứng minh rằng:
P=$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}\sqrt{a+b+c-\frac{abc}{ab+bc+ca}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 03-05-2017 - 22:21
Cho các số thực không âm a,b,c. Chứng minh rằng:
P=$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}\sqrt{a+b+c-\frac{abc}{ab+bc+ca}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 03-05-2017 - 22:21
$\mathbb{VTL}$
Cho các số thực không âm a,b,c. Chứng minh rằng:
P=$\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}\sqrt{a+b+c-\frac{abc}{ab+bc+ca}}$
Áp dụng bđt $Bunhiacopxki$,ta được: $P^2\leq 6(a+b+c)$.
Cần CM: $6(a+b+c)\leq \frac{27}{4}(a+b+c-\frac{abc}{\sum{ab}})$
$<=>24(a+b+c)\leq 27(a+b+c)-\frac{27abc}{\sum{ab}}$
$<=>3(a+b+c)-\frac{27abc}{\sum{ab}}\geq 0$
Áp dụng bđt $Cauchy$: $\sum{ab}\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}$,$3\sqrt[3]{abc}\leq a+b+c$
$VT\geq 3(a+b+c)-\frac{27abc}{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}$
$=3(a+b+c)-9\sqrt[3]{abc}$
$\geq 3(a+b+c)-3(a+b+c)=0$
Dấu $'='<=> a=b=c$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kagome: 20-06-2017 - 14:48
Theo bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ ta có: ${\left( {\sum\limits_{cyc} {\sqrt {a + b} } } \right)^2} \leqslant 6\left( {a + b + c} \right)$.
Mặt khác ta lại có: $$\frac{{27}}{4}\left( {\sum\limits_{cyc} a - \frac{{abc}}{{\sum\limits_{cyc} {ab} }}} \right) - 6\left( {a + b + c} \right) = \frac{{3\sum\limits_{cyc} {c{{\left( {a - b} \right)}^2}} }}{{4\left( {\sum\limits_{cyc} {ab} } \right)}} \geqslant 0$$Vậy có điều phải chứng minh!
$$\boxed{\boxed{I\heartsuit MATHEMATICAL}}$$
Sức hấp dẫn của toán học mãnh liệt đến nỗi tôi bắt đầu sao nhãng các môn học khác - Sofia Vasilyevna Kovalevskaya
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh