Chủ đề này có 1 trả lời

[Chika Mayona]

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$. Điểm $M$ thuộc $AD'$ và điểm $N$ thuộc $BD$ sao cho $AM=DN=x$  với $0< x< a\sqrt{2}$.

$a)$ Chứng minh rằng khi $x=\frac{a\sqrt{2}}{3}$ thì $MN$ ngắn nhất.

$b)$ Chứng minh rằng $MN$ luôn luôn song song với mặt phẳng $(A'D'BC)$ khi $x$ biến thiên.

$c)$ Khi $MN$ ngắn nhất, chứng minh rằng $MN$ là đoạn thẳng vuông góc chung của $AD'$ và $DB$ và $MN$ song song với $A'C$

[chanhquocnghiem]

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$. Điểm $M$ thuộc $AD'$ và điểm $N$ thuộc $BD$ sao cho $AM=DN=x$  với $0< x< a\sqrt{2}$.

$a)$ Chứng minh rằng khi $x=\frac{a\sqrt{2}}{3}$ thì $MN$ ngắn nhất.

$b)$ Chứng minh rằng $MN$ luôn luôn song song với mặt phẳng $(A'D'BC)$ khi $x$ biến thiên.

$c)$ Khi $MN$ ngắn nhất, chứng minh rằng $MN$ là đoạn thẳng vuông góc chung của $AD'$ và $DB$ và $MN$ song song với $A'C$

Qua $M$, kẻ $M_1M_2//AD$ ($M_1\in AA'$, $M_2\in DD'$)

Qua $N$, kẻ $N_1N_2//AD$ ($N_1\in AB$, $N_2\in CD$)

a) Kẻ $NP//AB$ ($P\in AD$) và $PQ//AA'$ ($Q\in M_1M_2$)

    $MN^2=MQ^2+PQ^2+NP^2=(AD-2DP)^2+PQ^2+NP^2=(a-x\sqrt{2})^2+\frac{x^2}{2}+\frac{x^2}{2}$

    $=3x^2-2a\sqrt{2}\ x+a^2$

    $MN$ ngắn nhất $\Leftrightarrow MN^2$ nhỏ nhất.Đặt biểu thức của $MN^2$ là $f(x)$

    $f'(x)=6x-2a\sqrt{2}$

    $f'(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{a\sqrt{2}}{3}$

    Tại $x=\frac{a\sqrt{2}}{3}$, $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương $\Rightarrow f(x)$ đạt GTNN, cũng tức là $MN$ ngắn nhất.

 

b) Ta có $\frac{AM_1}{AA'}=\frac{AM}{AD'}=\frac{DN}{DB}=\frac{AN_1}{AB}\Rightarrow M_1N_1//A'B$

    Gọi $I$ là trung điểm $A'B$, ta có $AI\perp (A'D'CB)$ (vì $AI\perp A'B$ và $AI\perp BC$)

    Do đó để chứng minh $MN//(A'D'CB)$, chỉ cần chứng minh $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{MN}=0$

    $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AI}.(\overrightarrow{MM_1}+\overrightarrow{M_1N_1}+\overrightarrow{N_1N})=\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{MM_1}+\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{M_1N_1}+\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{N_1N}=0$

    (vì $AI\perp A'B$ mà $M_1N_1//A'B$ nên $AI\perp M_1N_1$)

 

c) Khi $MN$ ngắn nhất thì :

    $AM^2=x^2=\left ( \frac{a\sqrt{2}}{3} \right )^2=\frac{2}{9}\ a^2$

    $MN^2=3.\frac{2}{9}\ a^2-\frac{4}{3}\ a^2+a^2=\frac{1}{3}\ a^2$

    $AN^2=(AD-DP)^2+NP^2=\left ( a-\frac{a}{3} \right )^2+\frac{1}{9}\ a^2=\frac{5}{9}\ a^2=AM^2+MN^2\Rightarrow AD'\perp MN$

    Tương tự, có thể chứng minh $DM^2=DN^2+MN^2\Rightarrow BD\perp MN$

 

    $\left\{\begin{matrix}MN\perp BD\\MN\perp AD'\\AD'//BC' \end{matrix}\right.\Rightarrow MN\perp (DBC')$ (1)

    $\left\{\begin{matrix}A'C\perp BD\\A'C\perp BC' \end{matrix}\right.\Rightarrow A'C\perp (DBC')$ (2)

    Mà $MN$ và $A'C$ là 2 đường thẳng phân biệt nên từ (1),(2) $\Rightarrow MN//A'C$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 05-05-2017 - 16:06