Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng $IQ \perp BC$.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
huykinhcan99

huykinhcan99

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 336 Bài viết

Cho tam giác $ABC$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$, $N$ là chân đường phân giác trong góc $A$. Đường thẳng vuông góc với $NA$ tại $N$ cắt đường thẳng $AB$, $AM$ lần lượt tại $P$ và $Q$. Gọi $I$ là giao điểm của đường vuông góc với $AB$ tại $P$ và đường $AN$. Chứng minh rằng $IQ \perp BC$.


$$\text{Vuong Lam Huy}$$

#2
anhquannbk

anhquannbk

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 477 Bài viết

Bài hình học APMO 2000 

https://diendantoanh...1239-apmo-2000/



#3
Mr Cooper

Mr Cooper

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 496 Bài viết

Cho tam giác $ABC$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$, $N$ là chân đường phân giác trong góc $A$. Đường thẳng vuông góc với $NA$ tại $N$ cắt đường thẳng $AB$, $AM$ lần lượt tại $P$ và $Q$. Gọi $I$ là giao điểm của đường vuông góc với $AB$ tại $P$ và đường $AN$. Chứng minh rằng $IQ \perp BC$.

Một lời giải khác , thiên về vẽ đường phụ :) 

APMO 2000.png

Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. $AN$ cắt $(O)$ tại $J$

Từ $M$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AJ$ cắt $AB$ tại $K$. Từ $C$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AJ$ cắt $(O)$ và $AB$ lần lượt tại $M$ và $E$.

$K'$ là giao điểm của $JM$ và $AB$.

Dễ thấy $K$ là trung điểm của $BE$ và $JK' \perp AE$

$\Rightarrow BK'JM$ là tứ giác nội tiếp $\Rightarrow \angle BMK' = \angle BJK' = \angle BCE \Rightarrow MK' \parallel CE$

$\Rightarrow K'$ là trung điểm của BE $\Rightarrow K \equiv K'$ $\Rightarrow JK \perp AE$

$IP \parallel JK ( \perp AE )$ $\Rightarrow \dfrac{AI}{AJ}=\dfrac{AP}{AK}=\dfrac{AQ}{AM} \Rightarrow IQ \parallel JM$

$\Rightarrow IQ \perp BC$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh