Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi Olympic chuyên KHTN 2017

olympic khtn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 57 trả lời

#1 Mr Cooper

Mr Cooper

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 496 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Miền cắt trắng
  • Sở thích:$\mathbb{Geometry}$

Đã gửi 06-05-2017 - 12:35

$\text{TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN}$

$\textbf{TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN}$

 

\[\textbf{ĐỀ THI OLYMPIC CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN 2017}\]

Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút,không kể thời gian phát đề

 

$\text{Ngày thi thứ nhất}$

 

Câu 1. Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $a_1=2017$ và

\[a_{n+1}=a^3_n-a^2_n-3a_n+4\]

với mọi số nguyên dương $n \ge 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $n$ để $a_n - 2$ chia hết cho $5^{2017}$

Câu 2. Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số thực sao cho

\[P(a)^2+P(b)^2+P(c)^2=P(a+b+c)^2+2\]

với mọi bộ số $(a,b,c)$ thỏa mãn $ab+bc+ca+1=0$

Câu 3. Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại các điểm $D,E,F$. Trên đường thẳng $EF$ lấy các điểm $M,N$ sao cho $CM \parallel BN \parallel DA$. $DM,DN$ lần lượt cắt đường tròn $(I)$ tại $P,Q$ khác $D$.

a) Chứng minh rằng $BP,CQ,AD$ đồng quy tại điểm $J$

b) Gọi $X$ là trung điểm $PQ$. Chứng minh rằng $JX$ đi qua trung điểm $MN$.

Câu 4. Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng

\[ \left( \frac{2+a}{1+a+b} \right)^2 + ca \left( \frac{2+b}{1+b+c} \right)^2+ a \left( \frac{2+c}{1+c+a} \right)^2 \le 1+a+ca \]

 

$\text{Ngày thi thứ hai}$

 

Câu 5. Tìm tất cả các bộ số nguyên không âm $(m,n,k)$ thỏa mãn

\[k^2-k+4=5^m(2+10^n)\]

Câu 6. Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp trong đường tròn $(O)$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. $AI$ cắt $BC$ tại $D$ và cắt $(O)$ tại $K$ khác $A$. $P$ là một điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIC$ và nằm trong tam giác $ABC$. $PK$ cắt $BC$ tại $L$. $AL$ cắt $(O)$ tại $F$ khác $A$.Giả sử $KF$ cắt $BC$ tại $T$.$Q$ đối xứng qua $K$.$AQ$ cắt $(O)$ tại $R$ khác $A$

a) Chứng minh rằng $PT$ song song $KR$

b) Gọi giao điểm của $AP$ và $(O)$ là $E$ khác $A$. Chứng minh rằng tam giác $KEP$ và $KET$ có diện tích bằng nhau.

Câu 7. Giả sử $A=(a_1,a_2,...,a_n)$ gồm các số thuộc tập $M= \lbrace 1,2,...,m \rbrace $ sao cho $a_1+a_2+a_3+...+a_n=2S$ với $S$ là số nguyên chia hết cho mọi phân tử của $M$. Chứng minh rằng người ta có thể chọn từ $A$ một số số có tổng bằng $S$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr Cooper: 07-05-2017 - 15:05


#2 Mr Cooper

Mr Cooper

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 496 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Miền cắt trắng
  • Sở thích:$\mathbb{Geometry}$

Đã gửi 06-05-2017 - 12:56

$\text{TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN}$

$\textbf{TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN}$

 

\[\textbf{ĐỀ THI OLYMPIC CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN 2017}\]

Môn thi: TOÁN

Ngày thứ nhất

Thời gian làm bài: 180 phút,không kể thời gian phát đề

 

 

Câu 1. Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $a_1=2017$ và

\[a_{n+1}=a^3_n-a^2_n-3a_n+4\]

với mọi số nguyên dương $n \ge 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $n$ để $a_n - 2$ chia hết cho $5^{2017}$

Câu 2. Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số thực sao cho

\[P(a)^2+P(b)^2+P(c)^2=P(a+b+c)^2+2\]

với mọi bộ số $(a,b,c)$ thỏa mãn $ab+bc+ca+1=0$

Câu 3. Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại các điểm $D,E,F$. Trên đường thẳng $EF$ lấy các điểm $M,N$ sao cho $CM \parallel BN \parallel DA$. $DM,DN$ lần lượt cắt đường tròn $(I)$ tại $P,Q$ khác $D$.

a) Chứng minh rằng $BP,CQ,AD$ đồng quy tại điểm $J$

b) Gọi $X$ là trung điểm $PQ$. Chứng minh rằng $JX$ đi qua trung điểm $MN$.

Câu 4. Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng

\[ \left( \frac{2+a}{1+a+b} \right)^2 + ca \left( \frac{2+b}{1+b+c} \right)^2+ a \left( \frac{2+c}{1+c+a} \right)^2 \le 1+a+ca \]


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 06-05-2017 - 18:38


#3 SonKHTN1619

SonKHTN1619

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 22 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Hà Nội
  • Sở thích:Geometry, Combinatorics, Functional Equation, Anime

Đã gửi 06-05-2017 - 13:29

Câu 3: 

a/Gọi $G$ là giao điểm của $EF$ và $BC$, $T,S,R$ là giao điểm của của $AD$ với $(I), EF, PQ$

$A$ là cực của $EF$ => $G$ là cực của $TD$ => $GT$ là tiếp tuyến của $(I)$.

$=> (DTPQ) = D(DTPQ) = D(GSMN) = D(GDCB) = -1$

$=> DPTQ$ là tứ giác điều hòa

$=> PQ$ đi qua $G$

$=> (GRPQ)=(GDBC) = -1 => BP, CQ, DR$ hay $AD$ đồng quy tại điểm J.

b/$(GSNM)=(GRQP)=-1=> AD,NP,MQ$ đồng quy tại $K$.

$DM$ cắt $BN$ tại $L$.

$=> M(BCNL) = M(BCGD) = -1 => B$ là trung điểm $NL$

$=> P(xJKD) = -1 => J$ là trung điểm $KD$.

Theo tính chất đường thẳng Gauss của tứ giác $DPKQ$, ta có $JX$ chia đôi $MN$. 

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SonKHTN1619: 06-05-2017 - 13:29

HSGS in my heart  :icon12:


#4 SUPERMAN2000

SUPERMAN2000

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết

Đã gửi 06-05-2017 - 19:35

Ta có $a_{n+1}-2=(a_{n}-2)(a_{n}^{2}+a_{n}-1)$ nên bằng quy nạp có $a_{n}-2$ chia hết cho 5 $\forall n$.

Nhận xét : $a_{n}-2$ chia hết cho 5 thì $v_{5}(a_{n}^{2}+a_{n}-1)=1$ nên ta có $v_{5}(a_{n+1}-2)=v_{5}(a_{n}-2)+1$

Do đó $v_{5}(a_{n}-2)=n$. Vậy n=2017 là giá trị nhỏ nhất cần tìm.



#5 Mr Cooper

Mr Cooper

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 496 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Miền cắt trắng
  • Sở thích:$\mathbb{Geometry}$

Đã gửi 06-05-2017 - 19:38

Câu 4.

Từ $abc=1$ ta có. 

Bổ đề quen thuộc: $\sum \frac{1}{1+a+b} \le 1$ với $abc=1$

Theo bất đẳng thức $\textbf{B-C-S}$ ta có:

$\sum \left( \frac{2+a}{1+a+b} \right)^2 \le \sum \frac{1+a+ca}{1+a+b}  = \left( \sum \frac{1}{1+a+b} \right) (1+a+ca) \le 1+a+ca$

 

P/s: ở dòng 4 mình dùng kí hiệu $\sum$ nhưng nó không được phù hợp cho lắm :P


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr Cooper: 07-05-2017 - 09:07


#6 Cosmos Lucio

Cosmos Lucio

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Cần Thơ
  • Sở thích:Cosmos; Music; Maths

Đã gửi 06-05-2017 - 19:54

Ta có $a_{n+1}-2=(a_{n}-2)(a_{n}^{2}+a_{n}-1)$ nên bằng quy nạp có $a_{n}-2$ chia hết cho 5 $\forall n$.

Nhận xét : $a_{n}-2$ chia hết cho 5 thì $v_{5}(a_{n}^{2}+a_{n}-1)=1$ nên ta có $v_{5}(a_{n+1}-2)=v_{5}(a_{n}-2)+1$

Do đó $v_{5}(a_{n}-2)=n$. Vậy n=2017 là giá trị nhỏ nhất cần tìm.

$a_{n}-2$ chia hết cho 5 thì $v_{5}(a_{n}^{2}+a_{n}-1)=1$
​Bạn ơi cho mình hỏi chỗ trên là sao vậy bạn ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cosmos Lucio: 06-05-2017 - 19:55

However the Earth still rotates - Galileo Galilei.


#7 Cosmos Lucio

Cosmos Lucio

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Cần Thơ
  • Sở thích:Cosmos; Music; Maths

Đã gửi 06-05-2017 - 20:31

Câu 1: Mình làm thế này:

Ta có: $a_{n+1}=(a_n-2)^3+5(a_n-2)^2+5(a_n-2)$

Với: $a_1-2=2017-2=2015$ chia hết cho 5, nhưng không chia hết cho 25.

Nên đặt $a_1=5k$ với $k$ là số tự nhiên khác 0 và $(k;5)=1$

Từ đó ta được: $a_2-2=(5k)^3+5(5k)^2+5(5K)=5^2k(5k^2+5k+1)$

Suy ra:$(a_2-2)$ chia hết cho 25, nhưng không chia hết cho 125.

Tương tự vậy, chững minh bằng quy nạp ta được:

$(a_n-2)$ chia hết cho $5^n$, nhưng không chia hết hết cho $5^{n+1}$.

Nên, để $(a_n-2)$ chia hết cho $5^{2017}$ thì $n\ge2017$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $n$ thỏa yêu cầu bài là $n=2017$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cosmos Lucio: 06-05-2017 - 20:41

However the Earth still rotates - Galileo Galilei.


#8 SUPERMAN2000

SUPERMAN2000

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết

Đã gửi 06-05-2017 - 20:32

$a_{n}-2$ chia hết cho 5 thì $v_{5}($a_{n}=5k+2 \Rightarrow a_{n}^{2}+a_{n}-1=5(5k^{2}+5k+1) \Rightarrow v_{5}(a_{n}^{2}+a_{n}-1)=1$)=1$

​Bạn ơi cho mình hỏi chỗ trên là sao vậy bạn ?

Ta có $a_{n}=5k+2 \Rightarrow a_{n}^{2}+a_{n}-1=5(5k^{2}+5k+1) \Rightarrow v_{5}(a_{n}^{2}+a_{n}-1)=1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SUPERMAN2000: 06-05-2017 - 20:33


#9 SUPERMAN2000

SUPERMAN2000

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết

Đã gửi 06-05-2017 - 20:34

Cách bạn với cách mình là một mà

 

Câu 1: Mình làm thế này:

Ta có: $a_{n+1}=(a_n-2)^3+5(a_n-2)^2+5(a_n-2)$

Với: $a_1-2=2017-2=2015$ chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25.

Nên đặt $a_1=5k$ với k là số tự nhiên khác 0 và $(k;5)=1$

Từ đó ta được: $a_2-2=(5k)^3+5(5k)^2+5(5K)=5^2k(5k^2+5k+1)$

Suy ra:$(a_2-2)$ chia hết cho 25, nhưng không chia hết cho 125.

Tương tự vậy, chững minh bằng quy nạp ta được:

$(a_n-2)$ chia hết cho $5^n$, nhưng không chia hết hết cho $5^(n+1)$.

Nên, để $(a_n-2)$ chia hết cho $5^(2017)$ thì $n\ge2017$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của n thỏa yêu cầu bài là $n=2017$.



#10 SUPERMAN2000

SUPERMAN2000

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết

Đã gửi 06-05-2017 - 20:38

Bạn đánh máy sai vài chỗ rồi

 

Câu 1: Mình làm thế này:

Ta có: $a_{n+1}=(a_n-2)^3+5(a_n-2)^2+5(a_n-2)$

Với: $a_1-2=2017-2=2015$ chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25.

Nên đặt $a_1=5k$ với $k$ là số tự nhiên khác 0 và $(k;5)=1$

Từ đó ta được: $a_2-2=(5k)^3+5(5k)^2+5(5K)=5^2k(5k^2+5k+1)$

Suy ra:$(a_2-2)$ chia hết cho 25, nhưng không chia hết cho 125.

Tương tự vậy, chững minh bằng quy nạp ta được:

$(a_n-2)$ chia hết cho $5^n$, nhưng không chia hết hết cho $5^(n+1)$.

Nên, để $(a_n-2)$ chia hết cho $5^(2017)$ thì $n\ge2017$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của n thỏa yêu cầu bài là $n=2017$.



#11 Cosmos Lucio

Cosmos Lucio

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Cần Thơ
  • Sở thích:Cosmos; Music; Maths

Đã gửi 06-05-2017 - 20:45

Bạn đánh máy sai vài chỗ rồi

 

Ừm, merci bạn, mình sửa lại rồi. Mà bài bạn mình vẫn chưng hiểu lắm từ khúc đó trở đi.

Bạn giải lại cụ thể giúp mình được không ?

Mình không giỏi Toán lắm, nên đọc hơi bị khó hiểu bạn ơi.


However the Earth still rotates - Galileo Galilei.


#12 Cosmos Lucio

Cosmos Lucio

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Cần Thơ
  • Sở thích:Cosmos; Music; Maths

Đã gửi 06-05-2017 - 20:52

Cách bạn với cách mình là một mà

 

Cách bạn có vài chỗ khác cách mình, nên mình không hiểu cái chỗ đó.

 

 

Nhận xét : $a_{n}-2$ chia hết cho 5 thì $v_{5}(a_{n}^{2}+a_{n}-1)=1$ nên ta có $v_{5}(a_{n+1}-2)=v_{5}(a_{n}-2)+1$

Do đó $v_{5}(a_{n}-2)=n$. Vậy n=2017 là giá trị nhỏ nhất cần tìm.

 

2 cái dòng cuối là mình không hiểu đó bạn.


However the Earth still rotates - Galileo Galilei.


#13 Drago

Drago

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 462 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\star \int_{VTLong}^{QT-T1619}\star$

Đã gửi 06-05-2017 - 22:04

Câu 4.

Từ $abc=1$ ta có. $ca+c+1=ab+a+1=bc+b+1$

Bổ đề quen thuộc: $\sum \frac{1}{1+a+b} \le 1$ với $abc=1$

Theo bất đẳng thức $\textbf{B-C-S}$ ta có:

$\sum \left( \frac{2+a}{1+a+b} \right)^2 \le \sum \frac{1+a+ca}{1+a+b}  = \left( \sum \frac{1}{1+a+b} \right) (1+a+ca) \le 1+a+ca$

Chọn bộ (a,b,c)=(2,2,1/4) thì ca+a+1 # ab+a+1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 06-05-2017 - 22:05

$\mathbb{VTL}$


#14 Mr Cooper

Mr Cooper

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 496 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Miền cắt trắng
  • Sở thích:$\mathbb{Geometry}$

Đã gửi 06-05-2017 - 22:10

Chọn bộ (a,b,c)=(2,2,1/4) thì ca+a+1 # ab+a+1

Bộ (a,b,c)=(1,1,1) mà anh



#15 namdu

namdu

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Đã gửi 06-05-2017 - 22:56

Câu 4.

Từ $abc=1$ ta có. $ca+c+1=ab+a+1=bc+b+1$

bạn có thể giải thích thêm đc ko? Mình ko hiểu lắm.



#16 Hoang Dinh Nhat

Hoang Dinh Nhat

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị
  • Sở thích:Gái và toán

Đã gửi 06-05-2017 - 23:20

Bộ (a,b,c)=(1,1,1) mà anh

 

Thì có bộ (2;2;1/4) thỏa abc=1 nhưng ca+c+1 # ab+a+1


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 07-05-2017 - 05:55

Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc

 

 

 

 


#17 IHateMath

IHateMath

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Olympiad Math & Computer Sci

Đã gửi 06-05-2017 - 23:23

Chọn bộ (a,b,c)=(2,2,1/4) thì ca+a+1 # ab+a+1

$ca+c+1$ chứ không phải $ca+a+1$!



#18 IHateMath

IHateMath

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Olympiad Math & Computer Sci

Đã gửi 06-05-2017 - 23:36

Cách bạn có vài chỗ khác cách mình, nên mình không hiểu cái chỗ đó.

 

 

2 cái dòng cuối là mình không hiểu đó bạn.

Có lẽ bạn chưa hiểu kí hiệu $\nu_{5}(\dots)$. Kí hiệu này chỉ số mũ đúng của $5$ (có thể thay $5$ bởi số nguyên tố $p$ bất kỳ) trong phân tích thành thừa số nguyên tố của một số nguyên, tức là nếu ta có $5^k|n$ nhưng $5^{k+1}\not |n$ thì $\nu_{5}(n)=k$. Như vậy hai lời giải đều hoàn toàn như nhau.



#19 Cosmos Lucio

Cosmos Lucio

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Cần Thơ
  • Sở thích:Cosmos; Music; Maths

Đã gửi 07-05-2017 - 05:42

Có lẽ bạn chưa hiểu kí hiệu $\nu_{5}(\dots)$. Kí hiệu này chỉ số mũ đúng của $5$ (có thể thay $5$ bởi số nguyên tố $p$ bất kỳ) trong phân tích thành thừa số nguyên tố của một số nguyên, tức là nếu ta có $5^k|n$ nhưng $5^{k+1}\not |n$ thì $\nu_{5}(n)=k$. Như vậy hai lời giải đều hoàn toàn như nhau.

 

À ra vậy, cái số mũ đúng mình chưa biết. Thanks hai bạn cho mình biết thêm cách giải.


However the Earth still rotates - Galileo Galilei.


#20 IHateMath

IHateMath

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Olympiad Math & Computer Sci

Đã gửi 07-05-2017 - 09:21

Lời giải cho bài $3$ mà mình lấy được từ AOPS:







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: olympic khtn

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh