Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi Olympic chuyên KHTN 2017

olympic khtn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 57 trả lời

#21 SUPERMAN2000

SUPERMAN2000

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết

Đã gửi 07-05-2017 - 11:20

Câu 4.

Theo bất đẳng thức $\textbf{B-C-S}$ ta có:

$\sum \left( \frac{2+a}{1+a+b} \right)^2 \le \sum \frac{1+a+ca}{1+a+b} $

BCS kiểu sao vậy bạn



#22 Mr Cooper

Mr Cooper

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 496 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Miền cắt trắng
  • Sở thích:$\mathbb{Geometry}$

Đã gửi 07-05-2017 - 11:23

BCS kiểu sao vậy bạn

$(1+1+a)^2 \le (1+ca+a)(a+b+1)$



#23 Mr Cooper

Mr Cooper

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 496 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Miền cắt trắng
  • Sở thích:$\mathbb{Geometry}$

Đã gửi 07-05-2017 - 11:48

Ngày 2

 

Câu 5. Tìm tất cả các bộ số nguyên không âm $(m,n,k)$ thỏa mãn

\[k^2-k+4=5^m(2+10^n)\]

 

Câu 6. Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp trong đường tròn $(O)$. $I$ là tâm nội tiếp của tam giác $ABC$. $AI$ cắt $BC$ tại $D$ và cắt $(O)$ tại $K$ khác $A$. $P$ là một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIC$ và nằm trong tam giác $ABC$. $PK$ cắt $BC$ tại $L$. $AL$ cắt $(O)$ tại $F$ khác $A$. Giả sử $KF$ cắt $BC$ tại $T$. $Q$ đối xứng $P$ qua $K$. $AQ$ cắt $(O)$ tại $R$ khác $A$.

 
a) Chứng minh rằng $PT$ song song với $KR$.
 
b) Gọi giao điểm của $AP$ và $(O)$ là $E$ khác $A$. Chứng minh rằng hai tam giác $KEP$ và $KET$ có diện tích bằng nhau. 

 

Câu 7. Giả sử $A=(a_1,a_2,...,a_n)$ gồm các số thuộc tập $M= \lbrace 1,2,...,m \rbrace $ sao cho $a_1+a_2+a_3+...+a_n=2S$ với $S$ là số nguyên chia hết cho mọi phân tử của $M$. Chứng minh rằng người ta có thể chọn từ $A$ một số số có tổng bằng $S$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanghung86: 07-05-2017 - 15:16
Sửa đề hình


#24 SUPERMAN2000

SUPERMAN2000

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết

Đã gửi 07-05-2017 - 12:14

$(1+1+a)^2 \le (1+ca+a)(a+b+1)$

TKS



#25 nguyen thanh phong

nguyen thanh phong

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 29 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 07-05-2017 - 12:25

de kho qua



#26 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 07-05-2017 - 12:51

2 ngày thi kết thúc thành công, các bài trong đề thi hợp lý, hay và đẹp. Bài hình ngày 2 là một kết quả có giá trị, có thể viết gọn lại đề như sau

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có tâm nội tiếp $I$. $AI$ cắt $(O)$ tại $K$ khác $A$. $P$ là điểm sao cho $KP=KI$. $KP$ cắt $BC$ tại $L$. $AL,AP$ cắt $(O)$ tại $E,F$ khác $A$. $EK$ cắt $BC$ tại $T$. Chứng minh rằng $KF$ chia đôi $PT$.

 

Figure5536.png



#27 manhtuan00

manhtuan00

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 108 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Khoa học Tự nhiên

Đã gửi 07-05-2017 - 12:58

Lời giải bài đa thức

Thế $a = x+1,b = -2x-1,c = -2x-3$, khi đó ta có $P^2(x+1)+P^2(-2x-1)+P^2(-2x-3) = P^2(-3x-3)+2$

So sánh hệ số bậc $2n$ ta có $1+(-2)^n+(-2)^n = (-3)^n$.

Tức là $(-1)^{n+1} = 3^n-2^{n+1}$. Điều này chỉ đúng khi $ n =1$

Vậy $P(x) = ax+b$. Thay vào ta có $a2+b^2 = 1$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhtuan00: 07-05-2017 - 14:00


#28 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 07-05-2017 - 13:01

Câu hình ngày 1 là bài cũng có giá trị, phát biểu cần 2 ý liên kết, đặc trưng cho phương pháp hàng điểm điều hòa. Chúng ta hãy thử tìm một lời giải không dùng pp hàng điều hòa cho bài đó ?

 

Figure5537.png



#29 manhtuan00

manhtuan00

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 108 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Khoa học Tự nhiên

Đã gửi 07-05-2017 - 13:38

Em xin phép giải câu hình 2 ạ 

a, Gọi $U$ là giao điểm của $KR$ với $BC$

Ta có $KT.KF = KB^2 $ nên $\angle KTB = \angle KBF = \angle KAF$. Suy ra $ADFT$ nội tiếp. Khi đó ta có $LD.LT = LF.LA = LB .LC = LP.LQ$ nên tứ giác $TPDQ$ nội tiếp

Lại có $KR.KU = KC^2$ nên tứ giác $ADRU$ nội tiếp. Và $KQ^2 = KC^2 = KD.KA$ nên ta có $\angle DUR = \angle DAR = \angle KQD = \angle PTD$. Từ đây suy ra $KR \parallel TP$

b,Gọi $M$ là giap điểm của $PK$ với $(O)$.Ta có $KL.KM = KB^2 = KP^2 = KQ^2$ nên $(ML,PQ) = -1 = A(ML,PQ) = A(MF,ER) = (MF,ER) = K(MF,ER) \implies KE$ chia đôi $TP$

Untitled.png

 



#30 lmht

lmht

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 88 Bài viết

Đã gửi 07-05-2017 - 14:03

Câu 4.

Từ $abc=1$ ta có. 

Bổ đề quen thuộc: $\sum \frac{1}{1+a+b} \le 1$ với $abc=1$

Theo bất đẳng thức $\textbf{B-C-S}$ ta có:

$\sum \left( \frac{2+a}{1+a+b} \right)^2 \le \sum \frac{1+a+ca}{1+a+b}  = \left( \sum \frac{1}{1+a+b} \right) (1+a+ca) \le 1+a+ca$

 

P/s: ở dòng 4 mình dùng kí hiệu $\sum$ nhưng nó không được phù hợp cho lắm :P

Mình không hiểu lời giải của bạn

Đề kêu chứng minh $\left( \frac{2+a}{1+a+b} \right)^2 + ca \left( \frac{2+b}{1+b+c} \right)^2+ a \left( \frac{2+c}{1+c+a} \right)^2 \le 1+a+ca$

 

Nhưng bạn lại chứng minh là $\sum \left( \frac{2+a}{1+a+b} \right)^2 \le 1+a+ca$



#31 lmht

lmht

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 88 Bài viết

Đã gửi 07-05-2017 - 14:06

Có ai giải ra câu tổ không ?



#32 Hoang Dinh Nhat

Hoang Dinh Nhat

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị
  • Sở thích:Gái và toán

Đã gửi 07-05-2017 - 14:08

Mình không hiểu lời giải của bạn

Đề kêu chứng minh $\left( \frac{2+a}{1+a+b} \right)^2 + ca \left( \frac{2+b}{1+b+c} \right)^2+ a \left( \frac{2+c}{1+c+a} \right)^2 \le 1+a+ca$

 

Nhưng bạn lại chứng minh là $\sum \left( \frac{2+a}{1+a+b} \right)^2 \le 1+a+ca$

 

$\sum \left( \frac{2+a}{1+a+b} \right)^2$ là tổng các hoán vị của nó


Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc

 

 

 

 


#33 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 07-05-2017 - 14:14

Lời giải của Tuấn cho bài ngày 2 rất tốt, đúng hướng đáp án, câu b) cũng là 1 ý dùng hàng điều hòa thú vị.



#34 Cosmos Lucio

Cosmos Lucio

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Cần Thơ
  • Sở thích:Cosmos; Music; Maths

Đã gửi 07-05-2017 - 14:40

Câu 5: Thì cách mình thế này:

Ta chứng minh được $n>0$ vì vế trái của phương trình chia hết cho 2, nên $(2+10^n)$ chia hết cho $2$, nên $n\geq1$ 

Với $m\geq2$ thì $5^m(2+10^n)$ chia hết cho $25$, nên $k^2-k+4$ chia hết cho $25$.

Nên $k(k-1)\equiv-4\equiv 21=1.21=3.7$ (mod 25).

Mà điều trên là không thể, nên $k^2-k+4$ không chia hết cho $25$, với mọi số tự nhiên $k$. Ta được $m=0;m=1$.

Với $m=0$ thì ta có:

$k^2-k+2=10^n$. Với $\Delta=1^2-4(2-10^n)=4*10^n-7$ là số chính phương.

Nhưng ta thấy $\Delta$ trên luôn có chữ số tận cùng là $3$, nên $\Delta$ không thể là số chính phương.

Nên với $m=0$ thì phương trình không có nghiệm $n;k$ tự nhiên.

Với $m=1$ thì ta có:

$k^2-k-6=5.10^n$. Với $\Delta=1-4(-6-5.10^n)=20.10^n+25$ là số chính phương.

Nên $\Delta$ chính phương thì có dạng $(10q+5)^2$. Nên $20.10^n+25=(10q+5)^2$.

Hay $5q^2+5q=5q(q+1)=5.10^n=2^n.5^{n+1}$.

Đến đây thì mình tìm được $n=1;n=2$. Nên có được $k=8;k=23$.

Vậy nên, tập nghiệm $(m,n,k)$ của phương trình là $(1;1;8);(1;2;23)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cosmos Lucio: 07-05-2017 - 14:47

However the Earth still rotates - Galileo Galilei.


#35 Cosmos Lucio

Cosmos Lucio

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Cần Thơ
  • Sở thích:Cosmos; Music; Maths

Đã gửi 07-05-2017 - 14:51

Cách trên của mình có lẽ hơi dài.

Mấy bạn có cách khác hay hơn thì cho mình được biết thêm với.


However the Earth still rotates - Galileo Galilei.


#36 SUPERMAN2000

SUPERMAN2000

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết

Đã gửi 07-05-2017 - 14:53

 

Ngày 2

 

Câu 6. Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp trong đường tròn $(O)$, $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. $AI$ cắt $BC$ tại $D$ và cắt $(O)$ tại $K$ khác $A$. $P$ là một điểm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIC$ và nằm trong tam giác $ABC$. $PK$ cắt $BC$ tại $L$. $AL$ cắt $(O)$ tại $F$ khác $A$

a) Chứng minh rằng $PT$ song song $KR$

b) Gọi giao điểm của $AP$ và $(O)$ là $E$ khác $A$. Chứng minh rằng tam giác $KEP$ và $KET$ có diện tích bằng nhau.

 

T, R là gì vậy bạn ơi


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SUPERMAN2000: 07-05-2017 - 14:54


#37 Cosmos Lucio

Cosmos Lucio

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Cần Thơ
  • Sở thích:Cosmos; Music; Maths

Đã gửi 07-05-2017 - 15:03

T, R là gì vậy bạn ơi

 

Bạn Mr Cooper đánh thiếu đề rồi kìa bạn.


However the Earth still rotates - Galileo Galilei.


#38 SUPERMAN2000

SUPERMAN2000

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết

Đã gửi 07-05-2017 - 15:05

Bài 5 cũng sử dụng v5 như bài 1



#39 Cosmos Lucio

Cosmos Lucio

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Cần Thơ
  • Sở thích:Cosmos; Music; Maths

Đã gửi 07-05-2017 - 15:08

Bài 5 cũng sử dụng v5 như bài 1

 

Bạn làm cụ thể dùm mình được không? Mình chưa học cái $v_5$


However the Earth still rotates - Galileo Galilei.


#40 SUPERMAN2000

SUPERMAN2000

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết

Đã gửi 07-05-2017 - 16:00

Bạn làm cụ thể dùm mình được không? Mình chưa học cái $v_5$







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: olympic khtn

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh