Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi Olympic chuyên KHTN 2017

olympic khtn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 57 trả lời

#41 IHateMath

IHateMath

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 299 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Olympiad Math & Computer Sci

Đã gửi 07-05-2017 - 16:23

Về bài toán $7$, mình nghĩ nó là biến thể của bài toán sau:

(Tournament of towns) Có một số tấm thẻ mà trên đó điền các số nguyên không vượt quá $n$ sao cho tổng các số ghi trên các tấm thẻ này là $k\cdot n!$. Chứng minh rằng ta có thể chia các tấm thẻ này thành $k$ đống, mỗi đống có tổng các số ghi trên các tấm thẻ đúng bằng $n!$.



#42 ddang00

ddang00

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:10T,THPT Chuyên Lam Sơn
  • Sở thích:%T&T%(Tiền và Toán)

Đã gửi 07-05-2017 - 17:45

Câu 4.

$\sum \left( \frac{2+a}{1+a+b} \right)^2 \le \sum \frac{1+a+ca}{1+a+b}  = \left( \sum \frac{1}{1+a+b} \right) (1+a+ca) \le 1+a+ca$

 

Mình không hiểu cái này cho lắm!


:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2: I Love $\sqrt{MF}$ :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#43 lamNMP01

lamNMP01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 07-05-2017 - 22:40

Không ai chém câu 2 à, thế mình chém tý :)

           

 

Xét $a=2x-1,b=2x+1,c=-x$ . Khi đó ta có $P(2x-1)^2+P(2x+1)^2+P(-x)^2=P(3x)^2+2$. So sánh hệ số  $x^{2n}$ có dễ dàng có n=1 nên  $degP=1$. Do đó $P(x)=mx+n$.

Thay vào đẳng thức, khi đó ta có $P(x)=\cos \alpha+x sin \alpha $

 

 

 

 

Dễ dàng kiểm tra đa thức thoả mãn . Vậy $P(x)=\cos \alpha+x sin \alpha $


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lamNMP01: 07-05-2017 - 22:57


#44 viet nam in my heart

viet nam in my heart

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 242 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Vĩnh Phúc

Đã gửi 07-05-2017 - 22:48

 

Ngày 2

 

Câu 5. Tìm tất cả các bộ số nguyên không âm $(m,n,k)$ thỏa mãn

\[k^2-k+4=5^m(2+10^n)\]

 

Câu 6. Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp trong đường tròn $(O)$. $I$ là tâm nội tiếp của tam giác $ABC$. $AI$ cắt $BC$ tại $D$ và cắt $(O)$ tại $K$ khác $A$. $P$ là một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIC$ và nằm trong tam giác $ABC$. $PK$ cắt $BC$ tại $L$. $AL$ cắt $(O)$ tại $F$ khác $A$. Giả sử $KF$ cắt $BC$ tại $T$. $Q$ đối xứng $P$ qua $K$. $AQ$ cắt $(O)$ tại $R$ khác $A$.

 
a) Chứng minh rằng $PT$ song song với $KR$.
 
b) Gọi giao điểm của $AP$ và $(O)$ là $E$ khác $A$. Chứng minh rằng hai tam giác $KEP$ và $KET$ có diện tích bằng nhau. 

 

Câu 7. Giả sử $A=(a_1,a_2,...,a_n)$ gồm các số thuộc tập $M= \lbrace 1,2,...,m \rbrace $ sao cho $a_1+a_2+a_3+...+a_n=2S$ với $S$ là số nguyên chia hết cho mọi phân tử của $M$. Chứng minh rằng người ta có thể chọn từ $A$ một số số có tổng bằng $S$

 

 

Câu 6:

a.png

Nhận thấy việc chứng minh $PT \parallel KR$ và $QT \parallel KE$ là như nhau (Do vai trò của $P,Q$ là như nhau). Hơn nữa nếu có $QT \parallel KE$ kết hợp với $K$ là trung điểm của $PQ$ thì $KE$ là đường trung bình của tam giác $PQT$ nên suy ra $KE$ đi qua trung điểm $QT$ thì từ đó cũng suy ra phần $b$ của bài toán

Ta chứng minh $QT \parallel KE$ là đủ

Ta có: $\overline{LP}.\overline{LQ}=\overline{LB}.\overline{LC}=\overline{LA}.\overline{LF}$. Từ đó $APFQ$ nội tiếp

Do $BC$ và $(O)$ là ảnh của nhau qua phép nghịch đảo cực $K$ phương tích $KI^2=KP^2=KQ^2$ nên $KQ^2=\overline{KF}.\overline{KT}$

Từ đó $QK$ tiếp xúc $(QTF)$

Ta có: $\widehat{QTK}=\widehat{FQP}=\widehat{FAP}=\widehat{FKE}$. Suy ra $QT \parallel KE$ (đpcm)

(Nếu không gọi ra 2 điểm $T$ và $Q$ thì có thể yêu cầu chứng minh $KE$ là đường đối trung của tam giác $PKF$)

Về bài toán $7$, mình nghĩ nó là biến thể của bài toán sau:

(Tournament of towns) Có một số tấm thẻ mà trên đó điền các số nguyên không vượt quá $n$ sao cho tổng các số ghi trên các tấm thẻ này là $k\cdot n!$. Chứng minh rằng ta có thể chia các tấm thẻ này thành $k$ đống, mỗi đống có tổng các số ghi trên các tấm thẻ đúng bằng $n!$.

Có lẽ bạn nên đăng cả nguồn lẫn lời giải để dễ theo dõi.

Câu 7: Đây là một bài trong đề thi học sinh giỏi tỉnh mình. Chỉ cần $a_1+a_2+a_3+...+a_n \geq 2S$ là đủ chứ không nhất thiết cần đẳng thức.

Sau đây là lời giải của đáp án.

Nếu mỗi số từ $1$ đến $m$ chỉ xuất hiện tối đa $m-2$ lần thì $a_1+a_2+a_3+...+a_n \leq (m-2)(1+2+\ldots+m)<2S$ (mâu thuẫn)

Từ đó trong số các số trong $M$ có một số được xuất hiện ít nhất $m-1$ lần. Giả sử đó là số $a$

Bỏ $m-1$ số $a$ vào tập $C$ và còn lại $n-m+1$ số bỏ vào tập $B$

Nếu $n-m+1<a$ thì $n-m+1<m \Rightarrow n<2m-1$. Suy ra $a_1+a_2+a_3+...+a_n < m(2m-1)<2S$ (Mâu thuẫn)

Suy ra $n-m+1 \geq a$

Trong tập $B$ lấy ra $a$ số bất kỳ

Bổ đề: Cho số nguyên dương $a$ thì trong $a$ số nguyên bất kỳ ta luôn chọn được $1$ số hoặc một số số có tổng chia hết cho $a$ (chứng minh đơn giản bằng Đirichlet)

Áp dụng bổ đề thì trong $a$ số kia chọn được $1$ số hoặc một số số có tổng chia hết cho $a$. Bỏ những số này ra khỏi $B$ và đặt chúng vào tập $T$

Ta tiếp tục làm như trên đến khi tổng các số trong $T$ lớn hơn $S-ma$ lần đầu tiên thì dừng lại

(Do nếu tổng các số trong $T$ nhỏ hơn hoặc bằng $S-ma$ thì tổng các số trong $B$ sẽ lớn hơn hoặc bằng $2S-(m-1)a-(S-ma)=S+a>ma$. Tức là trong $B$ vẫn còn nhiều hơn $a$ số để thực hiện tiếp)

Do đó ta đã xây dựng được tập $T$ có: $\sum T \vdots a$ và $\sum T >S-ma$ ( Ký hiệu $\sum T$ là tổng các phần tử của tập $T$)

Mặt khác $S \vdots a$ nên $\sum T \geq S - (m-1)a$

Ta chứng minh $\sum T \leq S$.

Giả sử  $\sum T > S$ thì $\sum T \geq S+a$. Do một lần thực hiện bước chuyển số vào $T$ thì ta chỉ chuyển được tối đa $a$ số vào $T$ nên sau mỗi bước chuyển thì $T$ tăng tối đa là $ma$ (Khi chuyển $a$ số $m$ vào $T$). Do đó nếu không chuyển lần chuyển cuối cùng thì $\sum T \geq S+a-ma=S-(m-1)a>S-ma$ nên ta có điều mâu thuẫn ( Do ta đã giả sử khi dừng lại khi $\sum T >S-ma$ lần đầu tiên)

Do đó ta tìm được tập $T$ mà $S-(m-1)a\leq\sum T\leq S$ và $\sum T \vdots a$

Mặt khác ta có tập $C$ chứa $m-1$ số $a$ nên ta sẽ bổ sung một số số $a$ vào $T$ để $\sum T =S$

Vậy ta có thể chọn từ $A$ một số số có tổng bằng $S$ 

(Lưu ý là một số bất đẳng thức trong bài trên chỉ đúng từ $m \geq 4$ nên ta cần xét trường hợp $m \leq 3$. Những trường hợp này khá đơn giản)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet nam in my heart: 07-05-2017 - 22:50

"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công." Isaac Newton


VMF's Marathon Hình học Olympic


#45 SUPERMAN2000

SUPERMAN2000

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết

Đã gửi 08-05-2017 - 09:42

Không ai chém câu 2 à, thế mình chém tý :)

           

 

Xét $a=2x-1,b=2x+1,c=-x$ . Khi đó ta có $P(2x-1)^2+P(2x+1)^2+P(-x)^2=P(3x)^2+2$. So sánh hệ số  $x^{2n}$ có dễ dàng có n=1 nên  $degP=1$. Do đó $P(x)=mx+n$.

Thay vào đẳng thức, khi đó ta có $P(x)=\cos \alpha+x sin \alpha $

 

 

 

 

Dễ dàng kiểm tra đa thức thoả mãn . Vậy $P(x)=\cos \alpha+x sin \alpha $

Ở trên có rồi mà



#46 lamNMP01

lamNMP01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 96 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 08-05-2017 - 10:30

Ở trên có rồi mà

Thâtj ạ ?. Em không thấy :(



#47 SUPERMAN2000

SUPERMAN2000

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết

Đã gửi 08-05-2017 - 17:52

Thâtj ạ ?. Em không thấy :(

Của Ihatemath với manhtuan00 đó



#48 khikho2002

khikho2002

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 4 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 11-05-2017 - 21:19

mấy anh cho em hỏi đề này của mình là dành cho khối nào ạ



#49 Cosmos Lucio

Cosmos Lucio

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Cần Thơ
  • Sở thích:Cosmos; Music; Maths

Đã gửi 11-05-2017 - 22:49

mấy anh cho em hỏi đề này của mình là dành cho khối nào ạ

 

khối 10; 11 á bạn.


However the Earth still rotates - Galileo Galilei.


#50 Hieutran2000

Hieutran2000

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HUST

Đã gửi 23-05-2017 - 11:26

có kết quả chưa nhỉ?

$\sum =\prod$


#51 Zeref

Zeref

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 461 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đồng Nai
  • Sở thích:...

Đã gửi 23-05-2017 - 12:06

có kết quả chưa nhỉ?

Hình như rồi đó bạn



#52 Hieutran2000

Hieutran2000

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HUST

Đã gửi 23-05-2017 - 18:13

Hình như rồi đó bạn


Xem ở đâu vậy bạn?

$\sum =\prod$


#53 Cosmos Lucio

Cosmos Lucio

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Cần Thơ
  • Sở thích:Cosmos; Music; Maths

Đã gửi 23-05-2017 - 19:14

Xem ở đâu vậy bạn?

 

kết quả gửi về mail trường bạn á


However the Earth still rotates - Galileo Galilei.


#54 nguyen thanh phong

nguyen thanh phong

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 29 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-05-2017 - 11:38

kết quả lên mạng chưa



#55 Hieutran2000

Hieutran2000

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 54 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:HUST

Đã gửi 26-05-2017 - 18:38

kết quả lên mạng chưa


Rồi đó bạn: https://drive.google...ew?usp=drivesdk

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hieutran2000: 26-05-2017 - 18:39

$\sum =\prod$


#56 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 10-06-2017 - 14:16

Các bạn có thể xem chi tiết thêm hai bài hình học ở đây

 

http://analgeomatica...-hoc-trong.html

 

QH.



#57 Uchiha sisui

Uchiha sisui

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 02-10-2017 - 22:18

Câu 6

 

Mặc dù bài này đã ra lâu rồi nhưng hôm nay em mới bắt tay vào lắm, vì thế em chỉ giải quyết con b) vì con a) quá quen thuộc rồi ! :)

 

b) Gọi $H$ là giao điểm của $KE\cap BC$, ${V}=KE\cap TU$. Dễ thấy $KE.KH=KP^{2}\Rightarrow \widehat{PHK}=\widehat{KPE}=\widehat{AKP}+\widehat{PAK}$. 

$\widehat{DPK}=\widehat{DTQ}=\widehat{DTF}+\widehat{FTQ}=\widehat{DAF}+\widehat{FQK}=\widehat{DAF}+\widehat{EAF}=\widehat{EAK}$

 

Suy ra tứ giác $HPDK$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{PKE}=\widehat{PDH}=\widehat{PQT}\Rightarrow KE//QT$

 

Dễ thấy tứ giác $TULF$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{TUL}=\widehat{AFK}=\widehat{AEK}=\widehat{HPK}\Rightarrow TU//HP$

 

Mà $(QP,LU)=-1$ $\Rightarrow T(QP,LU)=-1$, Do $EK//TQ$ $\Rightarrow J$ là trung điểm của $VH$ với $J$ là giao điểm của $KE$ và $TP$. Từ đó tứ giác $TVPH$ là hình bình hành suy ra $EK$ đi qua trung điểm $J$ của $TP$.

 

 

Hình gửi kèm

  • 5.png


#58 toanhoc2017

toanhoc2017

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1021 Bài viết

Đã gửi 14-10-2019 - 22:44

Câu 5: Thì cách mình thế này:

Ta chứng minh được $n>0$ vì vế trái của phương trình chia hết cho 2, nên $(2+10^n)$ chia hết cho $2$, nên $n\geq1$ 

Với $m\geq2$ thì $5^m(2+10^n)$ chia hết cho $25$, nên $k^2-k+4$ chia hết cho $25$.

Nên $k(k-1)\equiv-4\equiv 21=1.21=3.7$ (mod 25).

Mà điều trên là không thể, nên $k^2-k+4$ không chia hết cho $25$, với mọi số tự nhiên $k$. Ta được $m=0;m=1$.

Với $m=0$ thì ta có:

$k^2-k+2=10^n$. Với $\Delta=1^2-4(2-10^n)=4*10^n-7$ là số chính phương.

Nhưng ta thấy $\Delta$ trên luôn có chữ số tận cùng là $3$, nên $\Delta$ không thể là số chính phương.

Nên với $m=0$ thì phương trình không có nghiệm $n;k$ tự nhiên.

Với $m=1$ thì ta có:

$k^2-k-6=5.10^n$. Với $\Delta=1-4(-6-5.10^n)=20.10^n+25$ là số chính phương.

Nên $\Delta$ chính phương thì có dạng $(10q+5)^2$. Nên $20.10^n+25=(10q+5)^2$.

Hay $5q^2+5q=5q(q+1)=5.10^n=2^n.5^{n+1}$.

Đến đây thì mình tìm được $n=1;n=2$. Nên có được $k=8;k=23$.

Vậy nên, tập nghiệm $(m,n,k)$ của phương trình là $(1;1;8);(1;2;23)$

cách này tối ưu rùi 







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: olympic khtn

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh