Phương trình $2017^{\sin x}=\sin x +\sqrt{2-\cos^2 x}$ có bao nhiêu nghiệm thực trong $\left [ -5\pi ;2017\pi \right ]$
A. Vô nghiệm
B. $2017$
C. $2022$
D. $2023$
Phương trình $2017^{\sin x}=\sin x +\sqrt{2-\cos^2 x}$ có bao nhiêu nghiệm thực trong $\left [ -5\pi ;2017\pi \right ]$
A. Vô nghiệm
B. $2017$
C. $2022$
D. $2023$
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
Phương trình $2017^{\sin x}=\sin x +\sqrt{2-\cos^2 x}$ có bao nhiêu nghiệm thực trong $\left [ -5\pi ;2017\pi \right ]$
A. Vô nghiệm
B. $2017$
C. $2022$
D. $2023$
$2017^{\sin x}=\sin x+\sqrt{2-\cos^2x}\Leftrightarrow 2017^{\sin x}=\sin x+\sqrt{1+\sin^2x}$
Dễ thấy $x=k\pi$ ($k\in\mathbb{Z}$) là một tập nghiệm của phương trình.
Mà trong $\left [-5\pi;2017\pi \right ]$ đã có đến $2023$ nghiệm có dạng $k\pi$ nên không ngần ngại chọn đáp án $D$.
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
$2017^{\sin x}=\sin x+\sqrt{2-\cos^2x}\Leftrightarrow 2017^{\sin x}=\sin x+\sqrt{1+\sin^2x}$
Dễ thấy $x=k\pi$ ($k\in\mathbb{Z}$) là một tập nghiệm của phương trình.
Mà trong $\left [-5\pi;2017\pi \right ]$ đã có đến $2023$ nghiệm có dạng $k\pi$ nên không ngần ngại chọn đáp án $D$.
Câu này mà gặp trong phòng thi tớ chỉ dự đoán nghiệm, có cách nào để chứng minh đây là nghiệm duy nhất không bạn
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
Câu này mà gặp trong phòng thi tớ chỉ dự đoán nghiệm, có cách nào để chứng minh đây là nghiệm duy nhất không bạn
Đặt $t=\sin x$ ($t\in [-1;1]$)
Chứng minh phương trình đã cho có 1 tập nghiệm duy nhất $x=k\pi$ cũng đồng nghĩa với chứng minh phương trình :
$t+\sqrt{1+t^2}-2017^t=0$ có 1 nghiệm duy nhất thuộc $[-1;1]$
Đặt $f(t)=t+\sqrt{1+t^2}-2017^t\Rightarrow f'(t)=1+\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}-2017^t\ln 2017$
Đặt $g(t)=1+\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}$, $h(t)=2017^t\ln 2017\Rightarrow f'(t)=g(t)-h(t)$
Ta sẽ dùng phương pháp ước lượng
Tại $t=-1$, ta có $f(-1)=\sqrt{2}-1-2017^{-1}> 0$
+ Xét trên khoảng $\left ( -1;-\frac{1}{2} \right )$ :
Ta có $g'(t)=\frac{1}{(1+t^2)^{\frac{3}{2}}}> 0$ ; $h'(t)=2017^t\ln^2 2017> 0\Rightarrow g(t)$ và $h(t)$ đồng biến.
Mà $h\left ( -\frac{1}{2} \right )< g(-1)\Rightarrow$ trên khoảng đang xét ta có $f'(t)=g(t)-h(t)> 0\Rightarrow f(t)> 0$
+ Xét trên khoảng $\left (-\frac{1}{2};1 \right )$ :
Ta có $g'(t)=\frac{1}{(1+t^2)^{\frac{3}{2}}}< 1$, $h'(t)> 1\Rightarrow f''(t)=g'(t)-h'(t)< 0$
$\Rightarrow$ hàm $f'(t)$ đơn điệu giảm $\Rightarrow$ hàm $f(t)$ đến lúc nào đó sẽ đơn điệu giảm nên phương trình $f(t)=0$ có tối đa $1$ nghiệm.Dễ thấy nghiệm đó là $t=0$
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
Đặt t = Sinx, phương trình đã cho trở thành: $t+\sqrt{1+t^2}=2017^t$
$\Leftrightarrow$ $ln(t+\sqrt{1+t^2}) = t.ln2017 \Leftrightarrow ln(t+\sqrt{1+t^2}) - t.ln2017 = 0$
Xét hàm số: $y=ln(t+\sqrt{1+t^2})-t.ln2017$$\Rightarrow$ y' = $\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}}-ln2017$
Do đó y' < 0 => hàm số nghịch biến trên [-1; 1] => Phương trình có nghiệm duy nhất t = 0 trên [-1; 1]
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thichlambieng: 10-07-2019 - 17:31
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh